BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (4 points)


Commun à tous les candidats


Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath},~\vec{k}\right)$ on donne les points : \[\text{A}(1~;~2~;~3), \text{B}(3~;~0~;~1), \text{C}(-1~;~0~;~1), \text{D}(2~;~1~;~-1), \text{E}(-1~;~-2~;~3) \:\text{et }\: \text{F}(- 2~;~-3,4).\] Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant votre réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.
  • Affirmation 1 : Les trois points A, B, et C sont alignés.

  • Affirmation 1 : fausse
    $\vec{AB}(2;-2;-2)$ et $\vec{AC}(-2;-2;-2)$
    Or $\dfrac{2}{-2} \neq \dfrac{-2}{-2}$
    Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Les points $A,B$ et $C$ ne sont donc pas alignés.
    $\quad$
  • Affirmation 2 : Le vecteur $\vec{n}(0~;~1~;~-1)$ est un vecteur normal au plan (ABC).

  • Affirmation 2 : vraie
    $\vec{n}.\vec{AB}=0\times 2+1\times (-2)+(-1) \times -2 = 0$
    $\vec{n}.\vec{AC}=0\times (-2)+1\times (-2)+(-1) \times -2 = 0$
    Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$. Il est donc normal à ce plan.
    $\quad$
  • Affirmation 3 : La droite (EF) et le plan (ABC) sont sécants et leur point d'intersection est le milieu du segment [BC].

  • Affirmation 3 : vraie
    $\vec{EF}(-1;-1;1)$ donc $\vec{n}.\vec{EF}=0\times (-1)+1\times (-1) + (-1) \times 1=-2 \neq 0$
    Ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux.
    Cela signifie donc que la droite $(EF)$ et le plan $(ABC)$ sont sécants.
    Le point $M$, milieu de $[BC]$, appartient naturellement au plan $(ABC)$.
    Voyons s’il appartient également à $(EF)$.
    On a $M(1;0;1)$
    $\vec{EM}(2;2;-2)$ donc $\vec{EM}=-2\vec{EF}$.
    Ces deux vecteurs sont colinéaires. Donc les points sont alignés et $M$ appartient bien à $(EF)$.
    $\quad$
  • Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont sécantes.
  • Affirmation 4 : fausse
    Une représentation paramétrique de $(AB)$ est $\begin{cases}x=1+2t\\y=2-2t \quad t\in \mathbb R\\z=3-2t\end{cases}$
    On a $\vec{CD}(3;1;-2)$ donc une représentation paramétrique de $(CD)$ est $\begin{cases} x=-1+3k \\y=k \quad k\in \mathbb R \\z=1-2k\end{cases}$
    Regardons si ces deux droites sont sécantes. Pour cela on va résoudre le système :
    $\begin{align*} \begin{cases} 1+2t=-1+3k\\2-2t=k\\3-2t=1-2k \end{cases} &\iff \begin{cases} k=2-2t \\1+2t=-1+3(2-2t)\\3-2t=1-2(2-2t) \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} k=2-2t \\1+2t=-1+6-6t\\3-2t=1-4+4t \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} k=2-2t \\-4=-8t \\6=6t \end{cases} \\
    &\iff \begin{cases} k=2-2t \\t=0,5 \\t=1 \end{cases}
    \end{align*}$
    Ce qui est impossible.
    Ce système ne possède donc pas de solution et les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas sécantes.
    $\quad$

 

Exercice 3
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