Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Les probabilités seront arrondies au millième.


Partie A


Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0$,8.

1. Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants. Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible.

On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

• « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
• « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

La probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible est donnée par $P(X\geq 3)= P(X=3)+P(X=4)$.

2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

$$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

$$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
$P(X\geq 3)= P(X=3)+P(X=4)\approx 0,819$

On peut aussi faire le calcul de cette façon $P(X\geq 3)= 1-P(X\leq 2)$

 

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
$P(X\geq 3)= 1-P(X\leq 2)\approx 0,8192$ Ou pour terminer

2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\5) -2ND DISTR A binomFRép( \1 , \2,\3)EXE


Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\5)-binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \6$$

$$P( \4 \leq \7\leq\5 )\approx \6 \text{ à } 10^{-\8} \text{ près.}$$
2. Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ?
On appelle $X’$ la variable aléatoire comptant le nombre de flèches ayant atteint la cible.
Pour les mêmes raisons qu’à la question précédentes, $X’$ suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n;0,8)$.
On veut que :
$$\begin{array}{rl} E(X’) = 12 & \iff n \times 0,8 = 12 \\ & \iff n = \dfrac{12}{0,8} \\ & \iff n = 15 \end{array}$$ Le concurrent doit prévoir15 flèches, pour atteindre en moyenne la cible douze fois.



Partie B


Entre deux phases du concours, pour se perfectionner, le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d'entraînement, représentée ci-contre. Pour cela, il tire des flèches pour essayer d'atteindre une bande verticale, de largeur $20$ cm (en grisé sur la figure), le plus près possible de la ligne verticale centrale. On munit le plan contenant la bande verticale d'un repère : la ligne centrale visée est l'axe des ordonnées. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute flèche tirée atteignant ce plan, associe l'abscisse de son point d'impact.

Ainsi, par exemple :
• si la flèche atteint le point A, le tireur a raté la bande, et $X$ prend la valeur $15$ ;
• si elle atteint le point B, l'impact est à la limite de la bande, et $X$ prend la valeur $10$ ;
• si elle atteint le point C, l'impact est dans la bande et $X$ prend la valeur $- 5$.

On suppose que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $10$.

1. Lorsque la flèche atteint le plan, déterminer la probabilité que son point d'impact soit situé hors de la bande grisée.
On calcule dans un premier temps, la probabilité que le point d’impact soit situé dans la zone grisée.
$p = P(-10 \le X \le 10) \approx 0,693$

La probabilité que le point d’impact soit situé hors de la bande grisée est donc $1 – p \approx 0,317$.
2. Comment modifier les bords de la bande grisée pour faire en sorte que, lorsque la flèche atteint le plan, son point d'impact soit situé à l'intérieur de la bande avec une probabilité égale à $0,6$ ?
On appelle $Z = \dfrac{X}{10}$ . Cette variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.
On cherche la valeur de $a$ telle que :
$$\begin{array}{rl} P(-a \le X \le a) = 0,6 & \iff P\left(-\dfrac{a}{10} \le X \le \dfrac{a}{10}\right) = 0,6 \\ & \iff 2P\left(Z \le \dfrac{a}{10} \right) – 1 = 0,6 \\ & \iff 2P\left(Z \le \dfrac{a}{10} \right) = 1,6 \\ & \iff P\left(Z \le \dfrac{a}{10} \right) = 0,8 \\ & \iff \dfrac{a}{10} \approx 0,8416 \\ & \iff a \approx 8,416
\end{array}$$
Les bords de la cible doivent être situés à $8,416$ cm de l’axe des ordonnées.



Partie C


La durée de vie (exprimée en heures) du panneau électrique affichant le score des concurrents est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 10^{-4}$ (exprimé en h$^{-1}$).

1. Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant 2000 heures ?
On veut calculer
$$\begin{array}{rl} P(T \ge 2~000) &= \text{e}^{-\lambda \times 2~000} \\ & = \text{e}^{-0,2} \\ & \approx 0,819 \end{array}$$
La probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant 2000 heures est $P(T \ge 2~000)\approx 0,819$


2. Restitution organisée des connaissances
   Dans cette question, $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, est définie par : E$(T) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_0^x\lambda t \text{e}^{- \lambda t}\text{d}t$.
   1. On considère la fonction $F$, définie pour tout réel $t$ par : $F(t) = \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$. Démontrer que la fonction $F$ est une primitive sur $\mathbb R$ de la fonction 1 définie pour tout réel $t$ par : $f(t) = \lambda t\text{e}^{- \lambda t}$.
   $F$ est une fonction dérivable sur $\mathbb R$ en tant que produit de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
   $$\begin{array}{rl} F'(t) &= -\text{e}^{-\lambda t} -\lambda \left(-t – \dfrac{1}{\lambda}\right) \text{e}^{-\lambda t} \\ & = -\text{e}^{-\lambda t} +\lambda t \text{e}^{-\lambda t} + \text{e}^{-\lambda t} \\ &= \lambda t \text{e}^{-\lambda t} \\ &= f(t) \end{array}$$
   La fonction $F$ est donc une primitive sur $\mathbb R$ de $f$.
   
   2. En déduire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$. Quelle est l'espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents ?
   Soit $x$ un réel positif,
   $$\begin{array} {rl} \displaystyle \int_0^x f(t)\mathrm{d}t & = F(x) – F(0)\\ &= \left(-x – \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{-\lambda x} – \left(-\dfrac{1}{\lambda}\right) \\ & = \dfrac{1}{\lambda} -x\text{e}^{-\lambda x} – \dfrac{1}{\lambda} \text{e}^{-\lambda x} \\ & = \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda x}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x} – \dfrac{1}{\lambda} \text{e}^{-\lambda x} \end{array}$$
   Or $\lim\limits_{x\to +\infty} -\lambda x = -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x\text{e}^{x} = 0$.
   Par conséquent $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\lambda x}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x} = 0$.
   De plus $\lim\limits_{x \to -\infty} \text{e}^x = 0$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e}^{-\lambda x} = 0$.
   Par conséquent :
   $$\begin{array}{rl} E(T) & = \lim\limits_{x \to +\infty} \int_0^x f(t)\mathrm{d}t \\ & = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\lambda} -\dfrac{\lambda x}{\lambda}\text{e}^{-\lambda x} – \dfrac{1}{\lambda} \text{e}^{-\lambda x} \\ & = \dfrac{1}{\lambda}
   \end{array}$$
   $\quad$
   L’espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents est donc $\dfrac{1}{10^{-4}} = 10^4$ heures.
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