Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points


Fonctions


Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0 ; 1] par : \[f_n(x) = x + \text{e}^{n (x - 1)}.\] On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-dessous.
Partie A : généralités sur les fonctions $f_n$

  1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0 ; 1].
  2. Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées.
  3. À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ? Démontrer cette conjecture.

Partie B : évolution de $f_n(x)$ lorsque $x$ est fixé

Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0 ; 1] . Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$.
  1. Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.
  2. Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant x < 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

Partie C : aire sous les courbes $\mathcal{C}_n$

Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$. À partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite $\left(A_n\right)$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+ \infty$, puis démontrer cette conjecture.
Correction Exercice 3
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