Baccalauréat S Asie 17 juin 2015 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est muni du repère orthonormé direct $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux.

Partie A : propriétés du nombre $j$

1. 1. Résoudre dans l'ensemble $\mathbb C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\]
   2. Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation.
2. Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle.
3. Démontrer les égalités suivantes:
   1. $\text{j} ^3 = 1$ ;
   2. $\text{j} ^2 = - 1 - \text{j}$.
4. On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,j et j$^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse.

Partie B

Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan.

1. En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$.
2. En déduire que AC = BC .
3. Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$.
4. En déduire que le triangle ABC est équilatéral.