Baccalauréat S Liban 27 mai 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite de nombres complexes $\left(z_n\right)$ définie par $z_0=\sqrt{3}-\mathrm{i}$ et pour tout entier naturel $n$: \[z_{n+1} = (1+\mathrm{i})z_n.\]
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.

  1. Calculer $u_0$.
  2. $u_0=\vert z_0 \vert= \left\vert \sqrt3-\mathrm{i}\right\vert = 2$.
  3. Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme 2.
  4. $u_{n+1}= \left\vert z_{n+1}\right\vert= \left\vert (1+\mathrm{i})z_n\right\vert= \vert 1+\mathrm{i}\vert \times \vert z_n \vert=\sqrt2\vert z_n \vert=\sqrt2 u_n $
  5. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  6. D'après le cours, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 2\left(\sqrt2\right)^n$ ; $(u_n)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$ et de premier terme $u_0=2$.
  7. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
  8. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\sqrt2>1$ et de premier terme strictement positif, elle diverge donc vers $+\infty$.
  9. Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$. Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$. $$\begin{array}{|lcl|}\hline \text{Variables}&: &u \text{ est un réel}\\ &&p \text{ est un réel}\\ && n \text{ est un entier}\\ \text{Initialisation}&:& \text{Affecter à  } n \text{la valeur 0}\\ && \text{Affecter à  } u \text{la valeur 2}\\ \text{Entrée}&:& \text{Demander la valeur de  } p \\ \text{Traitement}&:& \text{Tant que } u \leqslant p \text{ Faire }\\ && \text{Affecter à  } n \text{ la valeur } n+1\\ && \text{Affecter à } u \text{ la valeur } \sqrt2\times u\\ && \text{ Fin du Tant Que }\\ \text{Sortie}&:& \text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$

Partie B

    1. Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
    2. $z_1 = (1+\mathrm{i})\times (\sqrt3-\mathrm{i})= 1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)$.
    3. Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+\mathrm{i}$. En déduire la forme exponentielle de $z_1$.
    4. $z_0 = 2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac12\mathrm{i}\right) = 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$

 

      $1+\mathrm{i}=\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$.

 

      $z_1= 2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\frac{\pi}{6}} \times \sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}$.
    1. Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
    2. Des deux questions précédentes, on obtient que \[1+\sqrt3 + \mathrm{i}(\sqrt3-1)=2\sqrt2\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}= 2\sqrt2 \Big(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\Big) \]

 

    D'où \[\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)= \dfrac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}\]

 

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