Baccalauréat S Liban 27 mai 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Fonctions

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par \[f(x) = x\,\mathrm{e}^{-x}.\] On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

Partie A

1. On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, calculer $f'(x)$. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
2. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Quelle interprétation graphique peut-on faire de ce résultat?

Partie B

Soit $\mathcal{A}$ la fonction définie sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ de la façon suivante :
pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[\,,\,\mathcal{A}(t)$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = t$.

1. Déterminer le sens de variation de la fonction $\mathcal{A}$.
2. On admet que l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ et l'axe des abscisses est égale à 1 unité d'aire. Que peut-on en déduire pour la fonction $\mathcal{A}$?
3. On cherche à prouver l'existence d'un nombre réel $\alpha$ tel que la droite d'équation $x =\alpha$ partage le domaine compris entre l'axe des abscisses et la courbe $\mathcal{C}$, en deux parties de même aire, et à trouver une valeur approchée de ce réel.
   1. Démontrer que l'équation $\mathcal{A}(t)=\dfrac12$ admet une unique solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$
   2. Sur le graphique fourni en annexe à rendre avec la copie sont tracées la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que la courbe $\Gamma$ représentant la fonction $\mathcal{A}$.
      Sur le graphique de l' annexe, identifier les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$, puis tracer la droite d'équation $y=\dfrac12$. En déduire une valeur approchée du réel $\alpha$.
      Hachurer le domaine correspondant à $\mathcal{A}(\alpha)$.
4. On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$ par $g(x) = (x+1)\,\mathrm{e}^{-x}$.
   1. On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0;~+\infty[$.
   Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;~+\infty[$, calculer $g'(x)$.
   2. En déduire, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0;~+\infty[$, une expression de $\mathcal{A}(t)$.
   3. Calculer une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $\mathcal{A}(6)$.

 Annexe :