Baccalauréat S Polynésie 14 juin 2017 - Exercice 4

Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On s'intéresse à la chute d'une goutte d'eau qui se détache d'un nuage sans vitesse initiale. Un modèle très simplifié permet d'établir que la vitesse instantanée verticale, exprimée en m.s$^{-1}$, de chute de la goutte en fonction de la durée de chute $t$ est donnée par la fonction $v$ définie ainsi :
Pour tout réel positif ou nul $t$, $v(t) = 9,81\dfrac{m}{k}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{k}{m}t}\right)$ ; la constante $m$ est la masse de la goutte en milligramme et la constante $k$ est un coefficient strictement positif lié au frottement de l'air.
On rappelle que la vitesse instantanée est la dérivée de la position. Les partiesA et B sont indépendantes.

Partie A - Cas général

1. Déterminer les variations de la vitesse de la goutte d'eau.
2. La goutte ralentit -elle au cours de sa chute ?
3. Montrer que $\lim\limits_{t\rightarrow +\infty}v(t)=9,81\dfrac{m}{k}$. Cette limite s'appelle vitesse limite de la goutte.
4. Un scientifique affirme qu'au bout d'une durée de chute égale à $\dfrac{5m}{k}$, la vitesse de la goutte dépasse 99 % de sa vitesse limite. Cette affirmation est-elle correcte ?

Partie B

Dans cette partie, on prend $m = 6$ et $k = 3,9$. À un instant donné, la vitesse instantanée de cette goutte est 15 m.s$^{-l}.$

1. Depuis combien de temps la goutte s'est-elle détachée de son nuage ? Arrondir la réponse au dixième de seconde.
2. En déduire la vitesse moyenne de cette goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse. Arrondir la réponse au dixième de m.s$^{-1}$.