Baccalauréat S Amérique du Sud 22 novembre 2016 - Exercice 4
Exercice 4 4 points
Partie A : un calcul de volume sans repère
On considère une pyramide équilatère SABCD (pyramide à base carrée dont toutes les faces latérales sont des triangles équilatéraux) représentée ci-contre. Les diagonales du carré ABCD mesurent 24 cm. On note O le centre du carré ABCD. On admettra que OS = OA. 
- Sans utiliser de repère, démontrer que la droite (SO) est orthogonale au plan (ABC).
- En déduire le volume, en cm$^3$, de la pyramide SABCD.
Partie B : dans un repère
On considère le repère orthonormé $\left(\text{O}~;~\vec{\text{OA}},~ \vec{\text{OB}}, ~\vec{\text{OS}}\right)$.
- On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].
- Justifier que $\vec{n}(1~;~1~;~- 3)$ est un vecteur normal au plan (PQC).
- En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).
- Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).
- Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).
- Calculer les coordonnées du point H.
- Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est $\dfrac{2\sqrt{11}}{11}$.
- On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à $\dfrac{3\sqrt{11}}{8}$ Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.
Partie C : partage équitable
Pour l'anniversaire de ses deux jumelles Anne et Fanny, Madame Nova a confectionné un joli gâteau en forme de pyramide équilatère dont les diagonales du carré de base mesurent 24 cm. Elle s'apprête à le partager en deux, équitablement, en plaçant son couteau sur le sommet. C'est alors qu'Anne arrête son geste et lui propose une découpe plus originale : «Place la lame sur le milieu d'une arête, parallèlement à un côté de la base, puis coupe en te dirigeant vers le côté opposé ». 
Fanny a des doutes, les parts ne lui semblent pas équitables. Est-ce le cas ? Justifier la réponse.
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