Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2016 - Exercice 3

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Exercice 3 4 points

Nombres complexes

On se place dans le plan complexe rapporté au repère $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$. Soit $f$ la transformation qui à tout nombre complexe $z$ non nul associe le nombre complexe $f(z)$ défini par : \[f(z) = z + \dfrac{1}{z}.\] On note $M$ le point d'affixe $z$ et $M'$ le point d'affixe $f(z)$.

1. On appelle A le point d'affixe $a = - \frac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\frac{\sqrt{2}}{2}$.
   1. Déterminer la forme exponentielle de $a$.
   2. Déterminer la forme algébrique de $f(a)$.
2. Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation $f(z) = 1$.
3. Soit $M$ un point d'affixe $z$ du cercle $\mathcal C$ de centre O et de rayon 1.
   1. Justifier que l'affixe $z$ peut s'écrire sous la forme $z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ avec $\theta$ un nombre réel.
   2. Montrer que $f(z)$ est un nombre réel.
4. Décrire et représenter l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.