Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un organisme propose un apprentissage de langues étrangères en ligne. Deux niveaux sont présentés : débutant ou avancé. Au début de chaque mois, un internaute peut s'inscrire, se désinscrire ou changer de niveau. On souhaite étudier l'évolution sur le long terme, de la fréquentation du site à partir d'un mois noté $0$. Des relevés de la fréquentation du site ont conduit aux observations suivantes :

• Au début du mois $0$, il y avait $300$ internautes au niveau débutant et $450$ au niveau avancé.
• Chaque mois, la moitié des débutants passe au niveau avancé, l'autre moitié reste au niveau débutant et la moitié des avancés ayant terminé leur formation, se désinscrit du site.
• Chaque mois, $100$ nouveaux internautes s'inscrivent en débutant et $70$ en avancé.

On modélise cette situation par deux suites de nombres réels $\left(d_n\right)$ et $\left(a_n\right)$. Pour tour entier naturel $n,\: d_n$ et $a_n$ sont respectivement des approximations du nombre de débutants et du nombre d'avancés au début du mois $n$. Pour tout entier naturel $n$, on note $U_n$ la matrice colonne $\begin{pmatrix}d_n\\a_n\end{pmatrix}$. On pose $d_0 = 300$, $a_0 = 450$ et, pour tout entier $n \geqslant 0$ \[\left\{\begin{array}{l c l} d_{n+1} &=&\dfrac{1}{2}d_n + 100 \\ a_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70 \end{array}\right.\]

1. 1. Justifier l'égalité $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}d_n + \dfrac{1}{2}a_n + 70$ dans le contexte de l'exercice.
   A la fin du mois $n$, il ne reste plus, au niveau avancé, que la moitié des internautes soit $\dfrac{1}{2}a_n$.
   La moitié des débutants rejoint ce groupe soit $\dfrac{1}{2}d_n$.
   Il y a $70$ nouveaux internautes.
   On a donc bien au début mois $n+1$ il y a donc bien $\dfrac{1}{2}d_n+\dfrac{1}{2}a_n+70$ internautes au niveau avancé.
   $\quad$
   
   2. Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que pour tout entier naturel $n$, \[U_{n+1} = AU_n + B.\]
2. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a \[A^n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2 + nT \right)\quad \text{où}\:\: T = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} \quad \text{et} \:\: I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.\]
On pose $A=\begin{pmatrix} 0,5&0 \\0,5&0,5\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 100\\70\end{pmatrix}$
Ainsi $U_{n+1}=AU_n+B$.
$\quad$
3. Initialisation : Soit $n=1$. On a $A^1 = A = \begin{pmatrix} 0,5&0 \\0,5&0,5\end{pmatrix}$
   Or $\dfrac{1}{2}\left(I_2+T\right) = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix} = A$
   La propriété est donc vraie au rang $1$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right)$.
   $\begin{align*} A^{n+1} &= A \times A^n \\\\
   &= \dfrac{1}{2}\left(I_2+T\right) \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right) \\\\
   &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+nT+T+nT^2 \right) \\\\
   &= \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+(n+1)T+nT^2 \right)
   \end{align*}$
   Or $T^2 = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
   Donc $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\left(I_2+(n+1)T\right)$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right)$.
   $\quad$
4. 1. Déterminer la matrice $C$ qui vérifie l'égalité $C = AC + B$.
   $C=AC+B \Leftrightarrow C-AC = B \Leftrightarrow \left(I_2-A\right)C=B$.
   Or $I_2-A=\begin{pmatrix}0,5 & 0 \\-0,5&0,5 \end{pmatrix}$.
   Cette matrice est inversible car $0,5\times 0,5 – (-0,5)\times 0 =0,25 \neq 0$.
   Son inverse est la matrice $\left(I_2-A\right)^{1}=\begin{pmatrix}2&0\\2&2\end{pmatrix}$.
   Ainsi $C=\left(I_2-A\right)^{1} \times B = \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Pour tout entier $n \geqslant 0$, on pose $V_n = U_n - \begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[V_{n+1} = AV_n.\]
   $\begin{align*} V_{n+1} &=U_{n+1}-\begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix} \\\\
   &= AU_n+B-C \\\\
   &=AU_n+B-(AC+B) \\\\
   &=A\left(U_n-C\right) \\\\
   &=AV_n
   \end{align*}$
   $\quad$
   c. On a $V_0=\begin{pmatrix}100\\110\end{pmatrix}$ et $U_n=A^nV_0+\begin{pmatrix}200\\340\end{pmatrix}$.
   Or $A^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\left(I_2+nT\right) = \begin{pmatrix}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &0 \\\\n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{pmatrix}$
   Ainsi $U_n= \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+200\\\\100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n+340\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   3. On admet que pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $V_n = A^nV_0$. En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[U_n = \begin{pmatrix} 100\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 200\\ 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n + 340 \end{pmatrix} \]
   Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $4$.
   On a donc $100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \ge 0$ en tant que produit de facteurs positifs.
   $\begin{align*} 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &=\dfrac{100n}{2^n} \\\\
   & \le \dfrac{100n}{n^2} \\\\
   & \le \dfrac{100}{n}
   \end{align*}$
   Ainsi $0 \le 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \le \dfrac{100}{n}$
   $\quad$
5. 1. On admet que pour tout entier $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$. En déduire que pour tout entier $n \geqslant 4$, \[0 \leqslant 100n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \leqslant \dfrac{100}{n}.\]
   Puisque $-1 <\dfrac{1}{2} < 1$ on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(\dfrac{1}{2}\right)^n =0$. Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} d_n = 200$
   $\quad$
   
   2. En utilisant les questions précédentes, que peut-on prévoir pour l'évolution de la fréquentation du site sur le long terme ?
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{100}{n} = 0$.
   D’après le théorème des gendarmes on a donc $\lim\limits_{n \to +\infty} 100n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Or $\lim\limits_{n\to +\infty} 110\left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$.
   Ainsi, par somme de limites, $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n = 340$.
   La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $340$.
   $\quad$
   Ainsi sur le long terme le site aura $200$ internautes présents au niveau débutant et $340$ internautes au niveau avancé.