Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie mars 2016 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par \[z_0 = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\] On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé$\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$ de l'annexe 2. L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

1. 1. Vérifier que $1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
   $$\begin{align*} \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}} &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\cos \dfrac{\pi}{6}+\text{i} \sin \dfrac{\pi}{6}\right) \\\\
   &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\text{i}}{2}\right) \\\\
   &=1+\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}} \\\\
   &=1+\dfrac{\sqrt{3}}{3}\text{i}
   \end{align*}$$
   $\quad$
   
   2. En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
   $z_1 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times 1 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}$
   $z_2 = \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_1 = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\text{e}^{\text{i} \frac{\pi}{6}}\right)^2 =\dfrac{4}{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$
   $\quad$
2. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n \text{e}^{\text{i}n\frac{\pi}{6}}.\]
   Montrons ce résultat par récurrence sur $n$.
   Initialisation : Si $n=0$ alors $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^0\text{e}^{\text{i}\times 0}=1$.
   La propriété est donc vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}$
   $\begin{align*} z_{n+1} &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
   &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}} \\\\
   &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{n+1}\text{e}^{\text{i} (n+1)\frac{\pi}{6}}
   \end{align*}$
   La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\text{e}^{\text{i} n\frac{\pi}{6}}$
   $\quad$
   
   2. Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$ sont-ils alignés ?
   $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si, et seulement si, $A_n$ est sur l’axe des réels
   si, et seulement si, $z_n$ est réel
   si, et seulement si, $n\dfrac{\pi}{6} =k\pi$ avec $k\in \mathbb Z$
   si, et seulement si, $n$ est un multiple de $6$
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
   1. Interpréter géométriquement $d_n$.
   $d_n = \left|z_{n+1}-z_n\right| = A_nA_{n+1}$
   $d_n$ est donc la distance séparant les points $A_{n+1}$ et $A_n$.
   $\quad$
   
   2. Calculer $d_0$.
   $d_0=\left|1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}-1\right|$ $=\left|\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right|$ $=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   $\quad$
   
   3. Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, \[z_{n+2} - z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \left(z_{n+1} - z_n\right).\]
   Pour tout entier naturel $n$ non nul,
   $\begin{align*} z_{n+2}-z_{n+1} &= \left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_{n+1}-\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times z_n \\\\
   &=\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right)
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   4. En déduire que la suite $\left(d_n\right)_{n \geqslant 0}$ est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$, \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
   Par conséquent :
   $\begin{align*} d_{n+1} &=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right| \\\\
   &=\left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \times \left(z_{n+1}-z_n\right) \right| \\\\
   &= \left|\left(1+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\right| \times \left|z_{n+1}-z_{n}\right| \\\\
   &=\dfrac{2}{\sqrt{3}}d_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(d_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ et de premier terme $d_0=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
   $\quad$
4. 1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, \[\left|z_{n+1}\right|^2 = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} \left|z_n\right|^2+d_n^2 &= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(1+\dfrac{1}{3}\right) \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \dfrac{4}{3} \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \\\\
   &=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n+2} \\\\
   &=\left|z_{n+1}\right|^2
   \end{align*}$
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle O$A_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
   Dans le triangle $OA_nA_{n+1}$ on a :
   $\begin{align*} OA_{n+1}^2 &= \left|z_{n+1}\right|^2 \\
   &= \left|z_n\right|^2+d_n^2 \\
   &=OA_n^2+A_nA_{n+1}^2
   \end{align*}$
   D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
   $\quad$
   
   3. Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
   
   4. Justifier cette construction.
   A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $[AO]$. Cela nous permet de tracer la droite perpendiculaire à $\left[OA_4\right]$ passant par $A_4$.
   A l’aide du compas, on trace la médiatrice de $\left[OA_6\right]$. On obtient le milieu $I$ de $\left[OA_6\right]$.
   On trace le demi-cercle de diamètre $\left[OA_6\right]$ situé au-dessus de l’axe des abscisses.
   Les triangles $OA_5A_4$ et $OA_5A_6$ étant respectivement rectangles en $A_4$ et $A_5$, le point $A_5$ appartient à la médiatrice de $[AO]$ et au demi-cercle.
   $\quad$