Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 6 points

Suites

1. 1. Cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de 378 km.h $^{-1}$. Vérifier que ce résultat correspond à la régle admise.
      A quelle catégorie appartient la tornade à ce moment là?
   $$v=420 -10\% =0,9\times 420 = 378$$
   Ainsi cinq minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est de 378 km.h $^{-1}$ et donc la tornade est de catégorie F4.
   1. Vérifier que, quinze minutes après la mesure initiale, cette tornade occasionne des dégâts classés comme «  dégâts considérables » .
      • Après 5 minutes la vitesse de la tornade est $v_1=0,9 \times v_0=0,9\times 420 = 378$
      • Après 10 minutes la vitesse de la tornade est $v_2=0,9 \times v_1=0,9\times 378 \approx 340$
      • Après 15 minutes la vitesse de la tornade est $v_3=0,9 \times v_2\approx0,9\times 340 \approx 306$
   Ainsi quinze minutes après la mesure initiale, la vitesse des vents est environ de 306 km.h $^{-1}$ et donc la tornade est de catégorie F3 et occasionne des «  dégâts considérables ».
2. Pour déterminer la durée de vie de cette tornade, un étudiant propose de modéliser le phénomène par une suite géométrique de raison q. Il commence à élaborer l'algorithme ci-dessous. $$ \begin{array}{|l |l |}\hline \text{ Variables :} & \\ & n : \text{ un nombre entier naturel }\\ & v : \text{ un nombre réel } \\ &q : \text{ un nombre réel } \\ \text{ Initialisation :}&\\ &\text{ Affecter à } n \text{ la valeur 0 }\\ &\text{ Affecter à } v \text{ la valeur 420 }\\ &\text{ Affecter à } q \text{ la valeur 0,9 }\\ \text{ Traitement :}& \\ &\text{ Tant que } \ldots \\ & \ldots\ldots\ldots\\ & \ldots\ldots\ldots \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : }& \\ & \text{ Afficher } 5\times n \\\hline \end{array}$$
   1. Justifier la valeur 0,9 dans la phrase «  Affecter à q la valeur 0,9 » .
   D'après l'ennoncé des météorologues ont admis la règle suivante :«  la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les5 minutes »  .
   
   
   Comme diminuer une grandeur de t % équivaut à multiplier sa valeur par $1- \dfrac{t}{100} $, ici pour diminuer la vitesse de 10 % on multiplie sa valeur par $1- \dfrac{10}{100}=0,9 $
   1. Donner le premier terme et la raison de la suite géométrique proposée par l'étudiant.
   Le premier terme est la valeur initiale de $v$ soit $v_0=420$, sa raison est $q=0,9$.
   2. Dans l'algorithme ci-dessus, des pointillés indiquent des parties manquantes.
      Recopier la partie relative au traitement et la compléter pour que l'étudiant puisse déterminer la durée de vie de cette tornade.
   $$ \begin{array}{|l |l |} \hline \text{ Variables :} & \\ & n : \text{ un nombre entier naturel }\\ & v : \text{ un nombre réel } \\ &q : \text{ un nombre réel } \\ \text{ Initialisation :}&\\ &\text{ Affecter à } n \text{ la valeur 0 }\\ &\text{ Affecter à } v \text{ la valeur 420 }\\ &\text{ Affecter à } q \text{ la valeur 0,9 }\\ \text{ Traitement :}& \\ &\text{ Tant que } v < 120 \\ & \text{ Affecter à } v \text{ la valeur }q \times v \\ & \text{ Affecter à } n \text{ la valeur } n+1 \\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : }& \\ & \text{ Afficher } 5\times n \\ \hline \end{array}$$
   3. Expliquer l'instruction Afficher 5 $\times n $ » proposée par l'étudiant.
   «  la vitesse des vents dans les tornades diminue régulièrement de 10 % toutes les5 minutes » , ainsi l'instruction «  Afficher 5 $\times n $ » proposée par l'étudiant donne le temps nécessaire, depuis sa formation, pour que la vitesse des vents devienne inférieure a 120 km.h $^{-1}$
   
   l'instruction «  Afficher 5 $\times n $ » doone la durée de vie en minutes de la tornade.
3. Déterminer la durée de vie de cette tornade au sens défini dans le document 2.
Notons $v_n$ la vitesse de la tornade après 5 $\times n $, la suite $(v_n)$ est géométrique, donc $v_n=q^n\times v_0=420 \times 0,9^n$

On résout $v_n<120$ $$\begin{array} {l l l} v_n < 120 & \iff 420 \times 0,9^n < 120 & \\ & \iff 0,9^n < \dfrac{120}{420} &\\ & \iff 0,9^n < \dfrac{2}{7} & \\ & \iff ln\left( 0,9^n\right) < \ln\left(\dfrac{2}{7}\right) & \text{ en appliquant la fonction } \ln \text{ strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \ln\left( 0,9 \right) < \ln\left(\dfrac{2}{7}\right) & \\ & \iff n > \dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\ln\left( 0,9 \right)} &\text{ en divisant par } \ln\left( 0,9 \right)< 0 \\ \end{array}$$ Or $\dfrac{\ln\left(\dfrac{2}{7}\right)}{\ln\left( 0,9 \right)}\approx 11,89$ , donc $n\geq 12$

La durée de vie de la tornade est de $5\times 12 =60$ min soit une heure !