Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Equations différentielles

Partie A

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisêe en fonction du temps $t$ par la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f(t) =35e^{-1,6t}-30$.

1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
On calcule $f(0,5)=35e^{-1,6 \times 0,5}-30=35e^{-0,8}-30\approx -14,3$

La température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes sera d'environ -14 °C

1. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
On calcule la dérivée et on étudie son signe : $$f'(t)=35\times (-1,6)e^{-1,6t} = -56e^{-1,6t}$$ On a utilisé la formule de dérivation : $$\left (e^u\right )'=u'e^u$$ Signe de la dérivée : La fonction exponentielle étant strictement positive sur $\mathbb{R}$ on déduit que pour tout $t\in [0;+\infty[$, on a $f'(t)<0$

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.

1. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
$f(1,5)\approx -26,8 °C$

La température des ailerons sera conforme au cahier des charges car inférieure ou égale à -24 °C

1. Résoudre par le calcul l’équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.
$$\begin{array} {l l l} f(t)=-24& \iff 35e^{-1,6t}-30=-24 & \\ & \iff 35e^{-1,6t}=6 &\\ & \iff e^{-1,6t} =\dfrac{6}{35}&\\ & \iff -1,6t =\ln\left(\dfrac{6}{35}\right)&\text{ en appliquant la fonction } \ln\\ & \iff t = \dfrac{ \ln\left(\dfrac{6}{35}\right)}{-1,6} & \\ & \iff t \approx 1,10 h &\\ \end{array}$$

La température des ailerons atteindra -24 °C et sera donc conforme au cahier des charges au bout de 1h et 6 minutes et 9 secxondes.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La,température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisêe, en fonction du temps, par une fonction $g$ de'finie et derivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y' + 1,5y = -52,5$.

1. Résoudre l'équation différentielle $y' + l,5y = -52,5$.
L'équation différentielle $y' + l,5y = -52,5$ se met sous la forme $y' =1,5y -52,5$.

Elle est du type $y' =a y +b$ où $a=-1,5$ et $b=-52,5$, les solutions de cette équation sont donc les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=C e^{a t} -\dfrac{b}{a}$ , soit ici

$g(t)=C e^{-1,5 t} -35$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque.

Les solutions de cette équation sont donc les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $g(t)=C e^{-1,5 t} -35$ où $C$ désigne une constante réelle quelconque.

1. 1. Justifier que $g(0) = 5$.
   $g(0) = 5$ car l'instant $t=0$, les ailerons, sont à une température de 5 °C.
   2. Vérifier que la fonction $g$ est définie par $ g(t)=40e^{-1,5t}-35$
   $$g(0)=5\iff C e^{-1,5 \times 0} -35 =5 $$ $$g(0)=5\iff C e^0 -35 =5 $$ $$C=40$$
   La fonction $g$ est définie par $ g(t)=40e^{-1,5t}-35$
2. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?
On résout $g(t)=-24$ $$\begin{array} {l l l} g(t)=-24& \iff 40e^{-1,5t}-35=-24 & \\ & \iff 40 e^{-1,5t}=11 &\\ & \iff e^{-1,5t} =\dfrac{11}{40}&\\ & \iff -1,5t =\ln\left(\dfrac{11}{40}\right)&\text{ en appliquant la fonction } \ln\\ & \iff t = \dfrac{ \ln\left(\dfrac{11}{40}\right)}{-1,5} & \\ & \iff t \approx 0,86 h \approx 52 \, min &\\ \end{array}$$

Ce nouveau tunnel permet  une congélation plus rapide.