Baccalauréat STI2D Métropole 19 juin 2014 - Exercice 3

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Exercice 3 6 points

Equations différentielles

Dans cet exercice, la température est exprimée en degrés Celsius ( °C) et le temps t est exprimé en heures. Une entreprise congèle des ailerons de poulet dans un tunnel de congélation avant de les conditionner en sachets. A l'instant $t=0$, les ailerons, à une température de 5 °C, sont placés dans le tunnel. Pour pouvoir respecter la chaîne du froid, le cahier des charges impose que les ailerons aient une température inférieure ou égale à -24 °C.

Partie A

La température des ailerons dans le tunnel de congélation est modélisêe en fonction du temps $t$ par la fonction définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par $f(t) =35e^{-1,6t}-30$.

1. Déterminer la température atteinte par les ailerons au bout de 30 minutes, soit 0,5 h.
2. Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
3. Si les ailerons de poulet sont laissés une heure et demie dans le tunnel de congélation, la température des ailerons sera-t-elle conforme au cahier des charges ?
4. Résoudre par le calcul l’équation $f(t)=-24$ et interpréter le résultat trouvé.

Partie B

Pour moderniser son matériel, l'entreprise a investi dans un nouveau tunnel de congélation. La,température des ailerons dans ce nouveau tunnel est modélisêe, en fonction du temps, par une fonction $g$ de'finie et derivable sur l'intervalle $[0,+\infty[$, qui est solution de l'équation différentielle $y' + l,5y = -52,5$.

1. Résoudre l'équation différentielle $y' + l,5y = -52,5$.
2. 1. Justifier que $g(0) = 5$.
   2. Vérifier que la fonction $g$ est définie par $ g(t)=40e^{-1,5t}-35$
3. Ce nouveau tunnel permet-il une congélation plus rapide ?