Rédigé par Luc Giraud le . Publié dans Exercices TS.

Limites de suites - Exercices TaleS

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Exercice 9

  1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n, 1^2 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 =\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n,1^3 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)^2=\dfrac{n ^2(n + 1)^2}{4}$

Exercice 10
Soit $n$ un entier naturel non nul, et $S_n $la somme : $S_n =\displaystyle\sum_{p=1}^{n}\dfrac{1}{p(p + 1)}$

  1. Ecrire un algorithme permettant de calculer $S_n$ où $n$ est un entier non nul choisi par l’utilisateur.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n \neq 0, S_n =\dfrac{n}{n + 1 }$
    1. Vérifier que pour tout entier $p$ non nul,$\dfrac{1}{p(p + 1)} =\dfrac{1}{p(p + 1)}-\dfrac{1}{p}\dfrac{1}{p+1}$
    2. Retrouver alors le résultat du 2. par une autre méthode.

Exercice 11
Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, (1 + a)^n \geq 1 + na$ (inégalité de Bernoulli).

Exercice 12
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 3$, et pour tout entier $n$ par $u_{n+1} = 2(u_n - 1)$. Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une expression de $u_n$.
Démontrer alors cette conjecture.

Exercice 13
Soit la suite $u$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 1}$.
Démontrer que cette suite est monotone.

Exercice 14
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite $(u_n) $:

  1. $u_n = n^3+\dfrac{1}{n}$
  2. $u_n =(3n+1)(-7n+5)$
  3. $u_n = \dfrac{3 - \dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
  4. $u_n = n^3-n^2+3n-1$
  5. $u_n =\dfrac{2n^2 + 1}{-n^2 + 6}$
  6. $u_n =\dfrac{n^2 + 3n - 5}{n^3 - 6n^2 + 1}$
  7. $u_n = n\sqrt{n}-n $
  8. $u_n = (-2n+3)\dfrac{n + 3}{-n^2 + n + 6}$
  9. $u_n =\dfrac{n}{n + \sqrt{n}}$
  10. $u_n =\dfrac{9 - n^2}{(n + 1)(2n + 1)}$
  11. $u_n =\dfrac{1}{3}-\dfrac{n}{(2n + 1)^2 }$
  12. $u_n =\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2 + 3}{3n^2 + n + 1}$

Exercice 15
D’après BAC $(u_n)$ est une suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = u_n + 2n + 3$.

  1. Etudier le sens de variation de $(u_n)$.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n, u_n = (n + 1)^2$.
  3. En déduire que, pour tout entier $n, u_n > n^2$.
  4. La suite $(u_n)$ est-elle minorée ? majorée ? Justifier.
  5. Donner la limite de $(u_n)$.

Exercice 16
Soit la suite u définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 1}$

  1. Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée.
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.

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