Limites de suites - Exercices TaleS

Exercice 1
Soit $(u_n)$ une suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = n^2 + n - 1$. Exprimer en fonction de n :

    1. $u_{n-1}$
    2. $u_{n+1}$
    3. $u_{n+1} - u_n$
  1. La suite $(u_n)$ est-elle arithmétique ?
  2. Quel est le sens de variation de $(u_n)$ ?

 

Exercice 2
Dans chaque cas préciser si la suite $(u_n)$ est arithmétique, géométrique, ou ni l’un ni l’autre. Exprimer alors, lorsque cela est possible, $u_n$ en fonction de $n$.

  1. . Pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n = n^2$.
  2. $u_0 = 2$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = u_n - 5$.
  3. Pour tout $n\in \mathbb{N} , u_n =\dfrac{2n^2 + 5n + 3}{n + 1}.$
  4. Pour tout $n \in \mathbb{N} , u_n =\dfrac{3^{2n+1}}{2n}$
  5. $u_0 = 3$ et pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = -\dfrac{2}{3}u_n + 4$.

Exercice 3
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par $u_n =\dfrac{n + 1}{n^2 + 1}$.

  1. Déterminer la fonction $f$ telle que $u_n = f(n)$.
  2. Etudier le sens de variation de $f$ et en déduire celui de $(u_n)$.
  3. Calculer $u_{10}, u_{100}, u_{10 000} , u_{108}$ et $u_{1016}$.
  4. Que peut-on dire des valeurs de un lorsque $n$ devient de plus en plus grand ?

Exercice 4
Même exercice avec les suites $(u_n)$ définies pour tout entier naturel $n$ par

  1. $u_n =\dfrac{n^2 - 1}{n^2 + 1}.$
  2. $u_n = 3n^2 + 4n - 5.$
  3. $ u_n = -n^3 + 6n^2 - 9n + 5.$

Exercice 5
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{1}{u_n}+ 1$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$.
Tracer $C_f$ et placer $u_0, u_1, u_2, u_3$ et $u_4$ sur l’axe des abscisses.

Exercice 6
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{3u_n}{3 + 2u_n}$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n =\dfrac{3}{u_n}$.

  1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
  2. En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction $n$.

Exercice 7
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{2}{3}u_n -\dfrac{1}{6}$.
Pour tout entier $n$, on pose $v_n = 2u_n + 1.$

  1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
  2. En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction $n$

Exercice 8
Soit la suite $v$ définie par $v_0 = 2$, puis pour tout entier $n, v_{n+1 }= 1 +\dfrac{1}{v_n}$.
Montrer que pour tout entier naturel $n,\dfrac{3}{2}\leq v_n\leq 2$

 


 

Exercice 9

  1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n, 1^2 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 =\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.
  2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul $n,1^3 + 2^3 + 3^3 + · · · + n^3 = (1 + 2 + 3 + · · · + n)^2=\dfrac{n ^2(n + 1)^2}{4}$

Exercice 10
Soit $n$ un entier naturel non nul, et $S_n $la somme : $S_n =\displaystyle\sum_{p=1}^{n}\dfrac{1}{p(p + 1)}$

  1. Ecrire un algorithme permettant de calculer $S_n$ où $n$ est un entier non nul choisi par l’utilisateur.
  2. Montrer par récurrence que pour tout entier $n \neq 0, S_n =\dfrac{n}{n + 1 }$
    1. Vérifier que pour tout entier $p$ non nul,$\dfrac{1}{p(p + 1)} =\dfrac{1}{p(p + 1)}-\dfrac{1}{p}\dfrac{1}{p+1}$
    2. Retrouver alors le résultat du 2. par une autre méthode.

Exercice 11
Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, (1 + a)^n \geq 1 + na$ (inégalité de Bernoulli).

Exercice 12
Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 3$, et pour tout entier $n$ par $u_{n+1} = 2(u_n - 1)$. Calculer les premiers termes de cette suite, et conjecturer une expression de $u_n$.
Démontrer alors cette conjecture.

Exercice 13
Soit la suite $u$ définie par $u_0 = 5$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 1}$.
Démontrer que cette suite est monotone.

Exercice 14
Dans chacun des cas suivants, déterminer la limite de la suite $(u_n) $:

  1. $u_n = n^3+\dfrac{1}{n}$
  2. $u_n =(3n+1)(-7n+5)$
  3. $u_n = \dfrac{3 - \dfrac{4}{n}}{\dfrac{2}{n^2}}$
  4. $u_n = n^3-n^2+3n-1$
  5. $u_n =\dfrac{2n^2 + 1}{-n^2 + 6}$
  6. $u_n =\dfrac{n^2 + 3n - 5}{n^3 - 6n^2 + 1}$
  7. $u_n = n\sqrt{n}-n $
  8. $u_n = (-2n+3)\dfrac{n + 3}{-n^2 + n + 6}$
  9. $u_n =\dfrac{n}{n + \sqrt{n}}$
  10. $u_n =\dfrac{9 - n^2}{(n + 1)(2n + 1)}$
  11. $u_n =\dfrac{1}{3}-\dfrac{n}{(2n + 1)^2 }$
  12. $u_n =\dfrac{2}{3n}-\dfrac{2n^2 + 3}{3n^2 + n + 1}$

Exercice 15
D’après BAC $(u_n)$ est une suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n, u_{n+1} = u_n + 2n + 3$.

  1. Etudier le sens de variation de $(u_n)$.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n, u_n = (n + 1)^2$.
  3. En déduire que, pour tout entier $n, u_n > n^2$.
  4. La suite $(u_n)$ est-elle minorée ? majorée ? Justifier.
  5. Donner la limite de $(u_n)$.

Exercice 16
Soit la suite u définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 1}$

  1. Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
  2. Montrer que la suite $(u_n)$ est minorée.
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.


Exercice 17
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 0 $ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 5}$.

  1. Montrer que cette suite est croissante.
  2. Montrer que pour tout entier $n, 0 \leq u _n \leq 3$. En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers une limite $l$.
  3. Déterminer la limite $l$ de la suite $(u_n)$ .

Exercice 18
Soit la suite $u$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n$, par $ u_{n+1} = 4 -\dfrac{3}{u_n}$ .

    1. Dans un repère orthonormal (unité graphique 4cm), tracer la droite d’équation $y = x$ et la courbe $C_f$ représentant la fonction $f $définie sur $]0;+\infty[$ par l’expression $f(x) = 4 -\dfrac{3}{x}$ .
    2. Placer sur l’axe des abscisses, et sans effectuer aucun calcul, les termes $u_0, u_1, u_2$ et $u_3$.
    3. Quelle conjecture peut-on faire sur la suite $u$.
    1. Démontrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}, 2 \leq u_n \leq 3$.
    2. Démontrer que la suite $u$ est croissante, et en déduire qu’elle converge.
    3. Déterminer alors la limite de la suite $u$.

Exercice 19
$(u_n)$ est la suite définie par $u_0 = 3$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} = \dfrac{3u_n}{3 + 2u_n}$ .
Pour tout entier $n$, on pose $v_n =\dfrac{3}{u_n}$ .

  1. Démontrer que $(v_n)$ est une suite arithmétique.
  2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Exercice 20

  1. Soit $a$ un réel strictement positif.
    Démontrer par récurrence que pour tout entier $n, (1 + a)^n \geq 1 + na$.
  2. Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 > 0$ et de raison $q > 1$. Déterminer la limite de $(v_n)$

Exercice 21
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u0 = 2$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{1}{4}u_n +6$ et la suite $(v_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par vn = un - 8.

  1. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique.
  2. En déduire l’expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Déterminer les limites des suites $(v_n)$ et $(u_n)$.

Exercice 22
Soit la suite $u$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier $n, u_{n+1} =\dfrac{5u_n - 1}{u_n + 3}$ .
1ère méthode

  1. vérifier que pour tout $n \in \mathbb{N} , u_{n+1} = 5 -\dfrac{16}{u_n + 3}$ .
  2. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}, u_n \in [1; 2]$.
  3. Etablir la relation $u_{n+1} - u_n = -\dfrac{(u_n - 1)^2}{u_n + 3}$ , et en déduire le sens de variation de $u$.
  4. Démontrer que $u$ converge et déterminer sa limite $l$.

2ème méthode
On considère la suite $v$ définie pour tout $n \in \mathbb{N}$, par $v_n =\dfrac{1}{u_n - 1}$ .

  1. Prouver que $v$ est une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{4}$.
  2. Exprimer pour tout $n, v_n$ puis $u_n$ en fontion de $n$.
  3. En déduire la convergence de $u$ et sa limite.
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