Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Correction Exercice 5

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Correction de l'exercice 5 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

• Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$ ;
• Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
• La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement  " la $n^\text{e}$ partie est gagnée "  et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
On utilise l'arbre pondéré ci-dessous :

D’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_2&=p\left(G_2\right) \\
&=p\left(G_1\cap G_2\right)+p\left(\overline{G_1}\cap G_2\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\times \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{7}{16}
\end{align*}$

2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
On utilise l'arbre pondéré ci-dessous :

’après la formule des probabilités totales on a :
$\begin{align*} p_{n+1}&=p\left(G_{n+1}\right) \\
&=p\left(G_n\cap G_{n+1}\right)+p\left(\overline{G_n}\cap G_{n+1}\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\times p_n+\dfrac{1}{2}\times \left(1-p_n\right) \\
&=\dfrac{p_n}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{p_n}{2} \\
&=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}
\end{align*}$
$\quad$
3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ : $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline p_n & 1 & 0,4375 & 0,3906 & 0,4023 & 0,3994 & 0,4001 & 0,3999 \\ \hline \end{array}$$ Quelle conjecture peut -on émettre ?
Il semblerait que la limite de la suite $\left(p_n\right)$ soit $0,4$.

4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   Pour tout entier naturel $n$ non nul on a $u_n=p_n-\dfrac{2}{5}$ soit $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}$.
   $\begin{align*} u_{n+1}&=p_{n+1}-\dfrac{2}{5} \\
   &=-\dfrac{1}{4}p_n+\dfrac{1}{2}-\dfrac{2}{5} \\
   &=-\dfrac{1}{4}\left(u_n+\dfrac{2}{5}\right)+\dfrac{1}{10} \\
   &=-\dfrac{1}{4}u_n-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10} \\
   &=-\dfrac{1}{4}u_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $-\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $u_1=p_1-\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}$.
   $\quad$
   
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a $u_n=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   Or $p_n=u_n+\dfrac{2}{5}=-\dfrac{3}{20}\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}+\dfrac{2}{5}$.
   $\quad$
   
   3. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.
   On a $-1<-\dfrac{1}{4}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n-1}=0$.
   Donc la suite $\left(p_n\right)$ converge vers $\dfrac{2}{5}=0,4$.
   Sur le long terme, la probabilité qu’un joueur gagne une partie est $0,4$.
   $\quad$