Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Correction Exercice 3

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Correction de l'exercice 3 (5 points)

Commun à tous les candidats

Géométrie

L'objectif de cet exercice est d'étudier les trajectoires de deux sous-marins en phase de plongée.
On considère que ces sous-marins se déplacent en ligne droite, chacun à vitesse constante.
À chaque instant $t$, exprimé en minutes, le premier sous-marin est repéré par le point $S_1(t)$ et le second sous-marin est repéré par le point $S_2(t)$ dans un repère orthonormé $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j},~\vec{k}\right)$ dont l'unité est le mètre.
Le plan défini par $\left(\text{O},~\vec{i},~\vec{j}\right)$ représente la surface de la mer. La cote $z$ est nulle au niveau de la mer, négative sous l'eau.

1. On admet que, pour tout réel $t \geqslant 0$, le point $S_1(t)$ a pour coordonnées: \[\left\{\begin{array}{l c l} x(t) &=& \phantom{-}140 - 60t\\ y(t) &=& \phantom{-}105 - 90t\\ z(t) &=& -170 - 30 t \end{array}\right.\]
   1. Donner les coordonnées du sous- marin au début de l'observation.
   Quand $t=0$ alors le sous-marin a pour coordonnées $A(140,105,-170)$.
   $\quad$
   
   2. Quelle est la vitesse du sous-marin ?
   Le vecteur vitesse du sous marin est $\vec{V_1}(-60;-90;-30)$.
   La vitesse du sous-marin est donc $v_1=\sqrt{(-60)^2+(-90)^2+(-30)^2}$ $=\sqrt{12~600}$ $=30\sqrt{14}$.
   $\quad$
   3. On se place dans le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. Déterminer l'angle $\alpha$ que forme la trajectoire du sous-marin avec le plan horizontal. On donnera l'arrondi de $\alpha$ à $0,1$ degré près.
      
   On considère le point $B(80,15,-200)$ quand $t=1$ et le point $C(80,15,-170)$.
   Le plan $(ABC)$ correspond donc au plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin.
   On a alors $\vec{AB}(-60;-90;-30)$ et $\vec{AC}(-60;-90;0)$.
   Donc $AB=\sqrt{12~600}$ et $AC=\sqrt{11~700}$
   D’une part $\vec{AB}.\vec{AC}=-60\times (-60)+(-90)\times (-90)+0=11~700$.
   D’autre part $\vec{AB}.\vec{AC}=\sqrt{12~600}\times \sqrt{11~700}\cos \alpha$.
   Ainsi $\cos \alpha =\dfrac{11~700}{\sqrt{12~600}\times \sqrt{11~700}}=\dfrac{\sqrt{11~700}}{\sqrt{12~600}}$
   Par conséquent $\alpha \approx 15,5$°
   $\quad$
2. Au début de l'observation, le second sous-marin est situé au point $S_2(0)$ de coordonnées $(68~;~135~;~- 68)$ et atteint au bout de trois minutes le point $S_2(3)$ de coordonnées $(-202~;~-405~;~ - 248)$ avec une vitesse constante. À quel instant $t$, exprimé en minutes, les deux sous-marins sont-ils à la même profondeur ?
La vitesse du second sous-marin est constante.
Par conséquent le point $S_2(t)$ a pour coordonnées :
$$\begin{cases} x(t)=68+at\\y(t)=135+bt\\z(t)=-68+ct\end{cases}$$
On sait que $S_2(3)$ a pour coordonnées $(-202;-405;-248)$.
Ainsi
$\begin{cases} 68+3a=-202\\135+3b=-405\\-68+3t=-248\end{cases} \iff \begin{cases} a=-90\\b=-180\\c=-60\end{cases}$.
le point $S_2(t)$ a pour coordonnées :
$$\begin{cases} x(t)=68-90t\\y(t)=135-180t\\z(t)=-68-60t\end{cases}$$
$\quad$
Les deux sous-marins sont à la même profondeur quand :
$-170-30t=-68-60t \iff 30t=102 \iff t=3,4$
Les deux sous-marins sont à la même profondeur au bout de $3$ min $24$ s.
$\quad$