Baccalauréat S Liban 29 mai 2018 - Exercice 5

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Exercice 5 : 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Un jeu de hasard sur ordinateur est paramétré de la façon suivante :

• Si le joueur gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la partie suivante est $\dfrac{1}{4}$ ;
• Si le joueur perd une partie, la probabilité qu'il perde la partie suivante est $\dfrac{1}{2}$ ;
• La probabilité de gagner la première partie est $\dfrac{1}{4}$ .

Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $G_n$ l'évènement  " la $n^\text{e}$ partie est gagnée "  et on note $p_n$ la probabilité de cet évènement. On a donc $p_1 = \dfrac{1}{4}$.

1. Montrer que $p_2 = \dfrac{7}{16}$.
2. Montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = - \dfrac{1}{4}p_n + \dfrac{1}{2}$.
3. On obtient ainsi les premières valeurs de $p_n$ : $$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline p_n & 1 & 0,4375 & 0,3906 & 0,4023 & 0,3994 & 0,4001 & 0,3999 \\ \hline \end{array}$$ Quelle conjecture peut -on émettre ?
4. On définit, pour tout entier naturel $n$ non nul, la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n = p_n - \dfrac{2}{5}$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
   2. En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n = \dfrac{2}{5} - \dfrac{3}{20}\left(- \dfrac{1}{4}\right)^{n-1}$.
   3. La suite $\left(p_n\right)$ converge-t-elle ? Interpréter ce résultat.