BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls $(a,\:b)$, on note pgcd$(a,\:b)$ le plus grand diviseur commun de $a$ et $b$. Le plan est muni d'un repère $\left(\text{O},~\vec{\imath},~\vec{\jmath}\right)$.

1. Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
   1. Montrer que si $(x,\:y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
   2. Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
   Généralisation
   On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E) \::\: y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,\: n) = \text{pgcd}(p,\: q) = 1$. Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle. Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
2. On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs.
   1. En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
   2. En déduire que $q$ divise $n$.
3. Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$.
   1. On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$.
   2. En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$.
4. Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$. Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.
5. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l l|}\hline \text{Variables :}& M, N, P, Q :\text{ entiers relatifs-nom nuls, tels que pgcd} (M,\: N) \text{ = pgcd}(P,\:Q) = 1 \\ & X : \text{entier naturel}\\ \text{Entrées :} &\text{ Saisir les valeurs de } M, N, P, Q \\ \text{Traitement et sorties :}&\\ &\text{Si }Q \text{ divise } N \text{ alors}\\ &\begin{array}{|l} X \text{ prend la valeur } 0 \\ \text{ Tant que } \left(\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}\right) \text{n'est pas entier} \\ \text{et } \left(-\dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q}\right) \text{n'est pas entier} \text{ faire}\\ \hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} X \text{ prend la valeur } X + 1 \end{array}\\ \text{ Fin tant que} \\ \text{Si } \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \text{ est entier alors }\\ \hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} \text{Afficher } X, \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \end{array}\\ \text{ Sinon}\\ \hspace{0,5cm}\begin{array}{|l} \text{ Afficher } -X, - \dfrac{M}{N}X - \dfrac{P}{Q} \end{array}\\ \text{ Fin Si }\\ \end{array}\\ &\text{ Sinon }\\ &\begin{array}{|l} \text{ Afficher « Pas de solution » } \end{array}\\ &\text{Fin Si }\\\hline \end{array} $$
   1. Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M,\: N)$ = pgcd$(P,\: Q) = 1$.
   2. Que permet-il d'obtenir ?