BAC S 2016 de Mathématiques : Métropole 20 juin 2016 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points


Commun à tous les candidats


Lors d'un match de rugby, un joueur doit transformer un essai qui a été marqué au point E (voir figure ci-dessous) situé à l'extérieur du segment [AB]. La transformation consiste à taper le ballon par un coup de pied depuis un point T que le joueur a le droit de choisir n'importe où sur le segment [EM] perpendiculaire à la droite (AB) sauf en E. La transformation est réussie si le ballon passe entre les poteaux repérés par les points A et B sur la figure.

Pour maximiser ses chances de réussite, le joueur tente de déterminer la position du point T qui rend l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ le plus grand possible.
Le but de cet exercice est donc de rechercher s'il existe une position du point T sur le segment [EM] pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et, si c'est le cas, de déterminer une valeur approchée de cet angle. Dans toute la suite, on note $x$ la longueur ET, qu'on cherche à déterminer.
Les dimensions du terrain sont les suivantes : EM = 50 m, EA = 25 m et AB = 5,6 m . On note $\alpha$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETA}}$, $\beta$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ETB}}$ et $\gamma$ la mesure en radian de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$.
  1. En utilisant les triangles rectangles ETA et ETB ainsi que les longueurs fournies, exprimer $\tan \alpha$ et $\tan \beta$ en fonction de $x$. La fonction tangente est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$.
  2. Dans le triangle $ETA$ rectangle en $E$ on a : $\tan \alpha = \tan \widehat{ETA}=\dfrac{EA}{ET} = \dfrac{25}{x}$.
    $\quad$
    Dans le triangle $ETB$ rectangle en $E$ on a : $\tan \beta = \tan \widehat{ETB}=\dfrac{EB}{ET} = \dfrac{30,6}{x}$.
    $\quad$
  3. Montrer que la fonction tan est strictement croissante sur l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$.
  4. La fonction $\tan$ est dérivable sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ en tant que quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle dont le dénominateur ne s’annule pas sur cet intervalle.
    Ainsi $\tan'(x)=\dfrac{\cos x \times \cos x-\sin x \times (-\sin x)}{\cos^2 x} = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
    Car, pour tout réel $x$ on a $\sin^2 x+\cos^2 x=1$.
    Un carré étant toujours positif, $\tan'(x) > 0$ et la fonction $\tan$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$.
    $\quad$
  5. L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ admet une mesure $\gamma$ appartenant à l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, résultat admis ici, que l'on peut observer sur la figure. On admet que, pour tous réels $a$ et $b$ de l'intervalle $\left]0~;~ \dfrac{\pi}{2}\right[$, $\tan(a - b) = \dfrac{\tan a - \tan b}{1 + \tan a \times \tan b}$. Montrer que $\tan \gamma = \dfrac{5,6x}{x^2 + 765}$.
  6. $\quad$
    $\begin{align*} \tan \gamma &=\tan \widehat{ATB} \\
    &=\tan(\beta-\alpha) \\
    &=\dfrac{\tan \beta-\tan \alpha}{1+\tan \beta \times \tan \alpha} \\
    &= \dfrac{\dfrac{30,6}{x}-\dfrac{25}{x}}{1+\dfrac{30,6}{x}\times \dfrac{25}{x}} \\
    &=\dfrac{5,6}{x+\dfrac{765}{x}} \\
    &=\dfrac{5,6x}{x^2+765}
    \end{align*}$
  7. L'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum lorsque sa mesure $\gamma$ est maximale. Montrer que cela correspond à un minimum sur l'intervalle ]0 ; 50] de la fonction $f$ définie par : $f(x)= x+ \dfrac{765}{x}$. Montrer qu'il existe une unique valeur de $x$ pour laquelle l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ est maximum et déterminer cette valeur de $x$ au mètre près ainsi qu'une mesure de l'angle $\widehat{\text{ATB}}$ à $0,01$ radian près.
  8. La fonction $\tan$ est strictement croissante sur $\left]0;\dfrac{\pi}{2}\right[$ donc $\gamma$ est maximal quand $\tan \gamma$ l’est c’est-à-dire quand $x \mapsto 5,6\dfrac{x}{x^2+765}$ est maximale et donc, du fait de la décroissance de la fonction inverse, quand $x \mapsto \dfrac{x^2+765}{x}$ est minimale ce qui revient à $f$ minimale.
    $f$ est dérivable sur $]0;50]$ en tant que somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
    On a donc $f'(x)=1-\dfrac{765}{x^2}=\dfrac{x^2-765}{x^2}$.
    Donc sur l’intervalle $]0;50]$, $f'(x) \leqslant 0$ sur $\left]0;\sqrt{765}\right]$ et $f'(x) \geqslant 0$ sur $\left[\sqrt{365};50\right]$.
    La fonction $f$ admet alors un minimum pour $x_0=\sqrt{365} \approx 28$.
    Ce minimum est unique.
    $\quad$
    En prenant $x=28$ m on trouve $\tan \gamma \approx 0,101$ et donc $\gamma \approx 0,10$ radian.

 

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