BAC S 2016 de Mathématiques : Polynésie 10 juin 2016 - Correction Exercice 2

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Correction de l'exercice 2 (5 points)

Commun à tous les candidats

Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, par \[u_{n+1} = 2u_n +2n^2 - n.\] On considère également la suite $v$ définie, pour tout entier naturel $n$, par \[v_n = u_n + 2n^2 + 3n + 6.\]

1. Voici un extrait de feuille de tableur : $$\begin{array} {|c|c|c|c|}\hline &A &B &C\\ \hline 1 & n & u & v \\ \hline 2 &0 &2 &7\\ \hline 3 &1 &4 &14\\ \hline 4 &2 &9 &28\\ \hline 5 &3 &24 &56\\ \hline 6 &4 &63 &\\ \hline 7 & & &\\ \hline 8 & & &\\ \hline 9 & & &\\ \hline 10 & & &\\ \hline \end{array} $$ Quelles formules a-t-on écrites dans les cellules C2 et B3 et copiées vers le bas pour afficher les termes des suites $u$ et $v$ ?
En $C2$ on a écrit $=B2+2*A2^2+3*A2+5$
En $B3$ on a écrit $=2*B2+2*A2^2-A2$
$\quad$
2. Déterminer, en justifiant, une expression de $v_n$ et de $u_n$ en fonction de $n$ uniquement.
Il semblerait d’après le tableau de valeur que $v_n=7\times 2^n$ pour tout entier naturel $n$ et donc que $u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$.
Montrons cela par récurrence.
Initialisation : Si $n=0$
$u_0=2$ et $v_0=7$
$7\times 2^0=7\times 1 = 7=v_0\checkmark$
$7-5=2=u_0 \checkmark$
$\quad$
Hérédite : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$ et $v_n=7\times 2^n$
$\begin{align*} u_{n+1}&=2u_n+2n^2-n \\
&=2\left(7\times 2^n-2n^2-3n-5\right) + 2n^2-n \\
&=7\times 2^{n+1}-4n^2-6n-10+2n^2-n\\
&=7\times 2^{n+1}-2n^2-7n-10
\end{align*}$
Or
$\begin{align*} -2(n+1)^2-3(n+1)-5&=-2\left(n^2+2n+1\right)-3n-3-5 \\
&=-2n^2-4n-2-3n-8\\
&=-2n^2-7n-10
\end{align*}$
Donc $u_{n+1}=7\times 2^{n+1}-2(n+1)^2-3(n+1)-5$
$\quad$
$v_{n+1}=u_{n+1}+2(n+1)^2+3(n+1)+5=7\times 2^{n+1}$
La propriété est donc héréditaire (pour les suites $u$ et $v$).
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Donc, pour tout entier naturel $n$, on a :
$u_n=7\times 2^n-2n^2-3n-5$ et $v_n=7\times 2^n$
$\quad$