Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.
  • On note : $X_{n}$ l'évènement « la marque X est utilisée le mois $n$ »,
  • $Y_{n}$ l'évènement « la marque Y est utilisée le mois $n$ »,
  • $Z_{n}$ l'évènement « la marque Z est utilisée le mois $n$ ».

Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 40 % de chance d'acheter la marque Y,
  • 10 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 50 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 10 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Y.
    1. Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$. On admet que : $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
    2. Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
  1. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$. Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ Variables }& n \text{ et } i \text{ des entiers naturels.}\\ &A, B \text{ et } U \text{ des matrices }\\ \hline \text{Entrée et initialisation }& \text{ Demander la valeur de } n \\ &i \text{ prend la valeur 0}\\ &A \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\\ &B \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\\ &U \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } i < n\\ &U \text{ prend la valeur } A \times U + B\\ &i \text{ prend la valeur } i + 1\\ &\text{ Fin de Tant que } \\ \hline \text{ Sortie } & \text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$
    1. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$.
    2. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
    3. Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$.
  2. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
    1. Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.
    2. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[8pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$. En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[8pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
  3. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}$.
    2. On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$. Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
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