Baccalauréat S Pondichéry 8 avril 2014

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Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.

  1. Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.
  2. Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
    1. Déterminer $P(X \geqslant 3)$.
    2. Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$.
    3. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
    4. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
  3. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$.
    L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %.
    Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
    Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
    On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.

 


Exercice 1 4 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront arrondis au centième. La durée de vie, exprimée en années, d'un moteur pour automatiser un portail fabriqué par une entreprise A est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$,
où $\lambda$ est un réel strictement positif.
On sait que $P(X \leqslant 2) = 0,15$.
    1. Déterminer la valeur exacte du réel $\lambda$.

 

      D'après le cours: $P(X \in [  a\:; b ])=\displaystyle\int_{a}^{b} \lambda \,\text{e}\,^{-\lambda t} \text{d} t = \left [ - \,\text{e}\,^{-\lambda t}\right ]_a^b = \,\text{e}\,^{-\lambda a} - \,\text{e}\,^{-\lambda b}$ où $a>0$ et $b>0$. Donc pour $t>0$, $P(X \leq t) = \,\text{e}\,^0-\,\text{e}\,^{-\lambda t} = 1-\,\text{e}\,^{-\lambda t}$. $P(X \leqslant 2) = 0,15 \iff 1-\,\text{e}\,^{-\lambda \times 2} = 0,15 \iff 0,85 = \,\text{e}\,^{-2\lambda} \iff \ln(0,85) = -2\lambda \iff \dfrac{\ln(0,85)}{-2} = \lambda$ $ P(X \leqslant 2) = 0,15 \iff \lambda = -\dfrac{\ln(0,85)}{2}$

 

    Dans la suite de l'exercice on prendra $0,081$ pour valeur de $\lambda$.
    1. Déterminer $P(X \geqslant 3)$.
    2. Pour $t>0$: $P(X \geqslant t) = 1-P(X < t) = 1-P(X \leq t) = 1-\left ( 1 -\,\text{e}\,^{-\lambda t}\right ) = \,\text{e}\,^{-\lambda t}$. Donc $P(X \geqslant 3) = \,\text{e}\,^{-3\times 0,081} \approx 0,78$
    3. Montrer que pour tous réels positifs $t$ et $h,\: P_{X \geqslant t}(X \geqslant t + h) = P(X \geqslant h)$.
    4. Pour tous réels positifs $t$ et $h$: $P(X\geq t)=\,\text{e}\,^{-\lambda t}$ et $P(X\geq t+h)=\,\text{e}\,^{-\lambda (t+h)}$ $$P_{X\geq t}(X\geq t+h) = \dfrac{P\left[ (X\geq t) \cap (X \geq t+h) \right]}{P(X \geq t)} = \dfrac{P(X \geq t+h)}{P(X\geq t)}$$ $$ P_{X>t}(X>t+h) = \dfrac{\,\text{e}\,^{-\lambda (t+h)}}{\,\text{e}\,^{-\lambda t}} = \dfrac{\,\text{e}\,^{-\lambda t} \times \,\text{e}\,^{-\lambda h} }{\,\text{e}\,^{-\lambda t}} = \,\text{e}\,^{-\lambda h} = P(X \geq h)$$
    5. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. Quelle est la probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans ?
    6. Le moteur a déjà fonctionné durant 3 ans. La probabilité pour qu'il fonctionne encore 2 ans est $P_{X\geq 3}(X \geq 3+2)$. D'après le cours: $P_{X\geq 3}(X \geq 3+2) = P(X\geq 2) = 1-P(X < 2)=1-0,15 = 0,85$.
    7. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et donner une interprétation de ce résultat.
    8. D'après le cours, pour une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, l'espérance de $X$ est $E(X)=\dfrac{1}{\lambda}$. Donc $E(X)= \dfrac{1}{0,081} \approx 12,35$. Ce qui veut dire que la durée moyenne de vie d'un moteur est de $12,35$ années.
  1. Dans la suite de cet exercice, on donnera des valeurs arrondies des résultats à $10^{-3}$.
    L'entreprise A annonce que le pourcentage de moteurs défectueux dans la production est égal à 1 %.
    Afin de vérifier cette affirmation $800$ moteurs sont prélevés au hasard. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux.
    Le résultat de ce test remet-il en question l'annonce de l'entreprise A ? Justifier.
    On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation.


Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % est: $$\left[ p- 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\displaystyle \sqrt{n}}\:; p + 1,96\dfrac{\displaystyle \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\displaystyle\sqrt{n}} \right]$$ sous les trois conditions: $n \geq 30$, $np \geq 5$ et $n(1-p)\geq 5$. L'échantillon de l'enquête est de taille $n=800$ et l'entreprise annonce que le pourcentage de moteurs défectueux est égal à 1 % donc $p=0,01$. Regardons si les trois conditions sont vérifiées:
$n=800 \geq 30$, $np=800 \times 0,01=8\geq 5$ et $n(1-p)=800\times 0,99 = 792 \geq 5$. L'intervalle est: $I = \left[ 0,01 - 1,96 \dfrac{\displaystyle \sqrt{0,01\left(1-0,01\right)}}{\displaystyle \sqrt{800}}\:; 0,01 + 1,96\dfrac{\displaystyle\sqrt{0,01\left(1-0,01\right)}}{\displaystyle\sqrt{800}} \right] \approx [ 0,003\:; 0,017 ]$. On constate que 15 moteurs sont détectés défectueux sur 800, ce qui fait une fréquence de $\dfrac{15}{800} = 0,01875 $; or $ 0,01875 \not\in I$ donc le résultat de ce test remet en question l'annonce de l'entreprise A.

 


Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

  1. Proposition 1 Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.
  2. $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par \[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]
    Proposition 2
    Sur $\left]- \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$.
    Proposition 3 Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$.
  3. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{i}, \vec{k}\right)$. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et $x + y + 5z - 11 = 0$.
    Proposition 4 Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement.

 


Exercice 2 4 points


Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

    1. Proposition 1 Toute suite positive croissante tend vers $+ \infty$.
    2. C'est faux car tout suite croissante majorée est convergente donc a une limite finie (c'est le théorème de la croissance majorée).

 

      Donc on peut trouver une suite positive croissante qui converge, par exemple la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$, par $u_n=2-\dfrac{1}{n+1}$.

Proposition fausse.

    1. $g$ est la fonction définie sur $\left]- \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$ par \[g(x) = 2x \ln (2x + 1).\]
      Proposition 2
      Sur $\left]- \dfrac{1}{2} ; + \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $\dfrac{\text{e} - 1}{2}$.



      sur $\left]- \dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$, l'équation $g(x) = 2x$ a une unique solution : $$\dfrac{\text{e} - 1}{2}$.

 

      $$g(x)=0 \iff 2x \ln(2x+1) = 2x \iff 2x\left (\ln(2x+1) - 1\right ) = 0 \iff 2x=0 \text{ ou } \ln(2x+1) - 1=0 $$

 

      $$g(x)=0\iff x=0 \text{ ou } \ln(2x+1)=1 \iff x=0 \text{ ou } 2x + 1=\,\text{e}$$

 

      $$g(x)=0\, \iff x=0 \text{ ou } x=\dfrac{\,\text{e}\, - 1}{2}$$ $g(x)=2x\ln(2x+1)$ donc $g(0)=0$; l'équation $g(x)=2x$ admet aussi pour solution $x=0$ donc:

proposition fausse.

    1. Proposition 3 Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est : $1 + \ln 4$.
    2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ est $g'\left (\dfrac{1}{2}\right )$. $g'(x)=2\ln(2x+1) + 2x \times \dfrac{2}{2x+1}$ donc $g'\left(\dfrac{1}{2}\right )=2\ln 2 + 1$; or $2\ln 2 = \ln 2^2=\ln 4$ donc le coefficient directeur de la tangente est égal à $1+\ln 4$.

Proposition vraie.

    1. L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O}, \vec{i}, \vec{i}, \vec{k}\right)$. $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ sont les plans d'équations respectives : $2x + 3y - z - 11 = 0$ et $x + y + 5z - 11 = 0$.
      Proposition 4 Les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$ se coupent perpendiculairement.
    2. Le plan $\mathcal P$ d'équation $2x+3y-z-11=0$ a pour vecteur normal $\vec{n_{\mathcal P}}(2\:; 3\:; -1)$.

 

      Le plan $\mathcal R$ d'équation $x+y+5z-11=0$ a pour vecteur normal $\vec{n_{\mathcal R}}(1\:; 1\:; 5)$.

 

      Le produit scalaire de ces deux vecteurs est $2\times 1 + 3 \times 1 + (-1)\times 5 = 0$

 

      donc les deux vecteurs sont orthogonaux et donc les deux plans $\mathcal P$ et $\mathcal R$ se coupent perpendiculairement.

Proposition vraie.

 


Exercice 3 7 points


Commun à tous les candidats

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

  1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.
    Annee 2014 Pondichery Ex4 a
    Annee 2014 Pondichery Ex4 b
  2. Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A.
  3. On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    1. Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
    2. Prouver que $a = 2$.
  4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
  5. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.

Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.

      1. Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\mathbb{R}$.
      2. En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.

La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.
Annee 2014 Pondichery Ex4 c
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

      • D est le point de coordonnées $(-2 ; 0)$,
      • E est le point de coordonnées (2 ; 0),
      • F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
      • G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.

  1. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).

 


Exercice 3 7 points


Commun à tous les candidats

Partie A

$f$ est une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. $f'$ est la fonction dérivée de la fonction $f$.

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, on nomme $\mathcal{C}_{1}$ la courbe représentative de la fonction $f$ et $\mathcal{C}_{2}$ la courbe représentative de la fonction $f'$.

Le point A de coordonnées (0 ; 2) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.

Le point B de coordonnées (0 ; 1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

    1. Dans les trois situations ci-dessous, on a dessiné la courbe représentative $\mathcal{C}_{1}$ de la fonction $f$. Sur l'une d'entre elles, la courbe $\mathcal{C}_{2}$ de la fonction dérivée $f'$ est tracée convenablement. Laquelle ? Expliquer le choix effectué.

      Annee 2014 Pondichery Ex4 a
      Annee 2014 Pondichery Ex4 b
    2. La fonction $f$ est décroissante puis croissante, donc la fonction dérivée doit être négative puis positive, ce qui élimine la situation 3.

 

      Si la fonction dérivée est représentée par une droite comme dans la situation 2, c'est que la fonction $f$ est une fonction du second degré; donc sa représentation graphique possède un axe de symétrie vertical. Ce n'est pas le cas donc on peut éliminer la situation 2. La bonne situation est donc la situation 1.
    1. Déterminer l'équation réduite de la droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en A.
    2. La droite $\Delta$ tangente à la courbe $\mathcal C_1$ en A d'abscisse 0, a pour équation $y= f'(0)(x-0)+f(0)$. $f(0)$ est l'ordonnée de A donc $f(0)=2$; $f'(0)$ est l'ordonnée du point B donc $f'(0)=1$. L'équation réduite de la tangente est donc: $y=x+2$.
    3. On sait que pour tout réel $x,\: f(x) = \text{e}^{-x} + ax + b$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
        1. Déterminer la valeur de $b$ en utilisant les renseignements donnés par l'énoncé.
        2. $f(0)=2 \iff\,\text{e}\,^{0} + 2\times 0 + b = 2 \iff 1+b=2 \iff b=1$
        3. Prouver que $a = 2$.
        4.  $b=1$ donc $f(x)=\,\text{e}\,^{-x}+ax+1$ donc 

          $f'(x)= -\,\text{e}\,^{-x}+a$; or $f'(0)=1 \iff -\,\text{e}\,^{0}+a = 1 \iff 1+a=1 \iff a=2$

        Donc $f(x)=\,\text{e}\,^{-x}+2x+1$
    4. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
    5. On a vu que $f'(x)=-\,\text{e}\,^{-x}+a$ et comme $a=2$, $f'(x)=-\,\text{e}\,^{-x}+2$. $f'(x) >0 \iff -\,\text{e}\,^{-x}+2>0 \iff 2 >\,\text{e}\,^{-x} \iff \ln 2 > -x \iff -\ln 2 < x$

 

    $$\begin{array}{ l l} \text{Donc:} & \text{la fonction } f \text{ est strictement décroissante sur } \\texttt{]} -\infty\:; -\ln 2 \\texttt{]}; \\ & \text{ la fonction } f \text{ admet un minimum pour } x=-\ln 2;\\ & \text{la fonction } f \text{ est strictement croissante sur } \\texttt{[} -\ln 2\:; +\infty \\texttt{[}. \end{array}$$
  1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
  2. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\,\text{e}\,^{-x}=0$ et que $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} 2x+1=+\infty$ donc, par somme, $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty$.
Partie B

Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = f(x) - (x + 2)$.

      1. Montrer que la fonction $g$ admet $0$ comme minimum sur $\mathbb{R}$.
      2. $g'(x)=f'(x)-1 = -\,\text{e}\,^{-x}+2-1 = -\,\text{e}\,^{-x}+1$. $g'(x)>0 \iff -\,\text{e}\,^{-x}+1 >0 \iff 1 >\,\text{e}\,^{-x} \iff \ln 1 > -x \iff x>0$ Donc $g$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}_{-}$, et strictement croissante sur $\mathbb{R}_{+}$; la fonction $g$ admet donc un minimum en $x=0$. Ce minimum vaut $g(0)=f(0)-(0+2) = 2-2 = 0$.
      3. En déduire la position de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ par rapport à la droite $\Delta$.
      4. D'après la question précédente, pour tout réel $x$: $g(x) \geq 0$ donc $f(x)-(x+2)\geq 0 \iff f(x) \geq x+2$ ce qui veut dire que la courbe $\mathcal C_1$ est au-dessus de la droite $\Delta$ sur $\mathbb{R}$.

La figure 2 ci-dessous représente le logo d'une entreprise. Pour dessiner ce logo, son créateur s'est servi de la courbe $\mathcal{C}_{1}$ et de la droite $\Delta$, comme l'indique la figure 3 ci-dessous. Afin d'estimer les coûts de peinture, il souhaite déterminer l'aire de la partie colorée en gris.
Annee 2014 Pondichery Ex4 c
Le contour du logo est représenté par le trapèze DEFG où :

      • D est le point de coordonnées $(-2 ; 0)$,
      • E est le point de coordonnées (2 ; 0),
      • F est le point d'abscisse 2 de la courbe $\mathcal{C}_{1}$,
      • G est le point d'abscisse $- 2$ de la courbe $\mathcal{C}_{2}$.

La partie du logo colorée en gris correspond à la surface située entre la droite $\Delta$, la courbe $\mathcal{C}_{1}$, la droite d'équation $x = - 2$ et la droite d'équation $x = 2$.

    1. Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du logo colorée en gris (on donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$ du résultat).
    2. On a vu que la courbe $\mathcal C_1$ était au dessus de la droite $\Delta$ sur $\mathbb{R}$ donc c'est vrai sur $ \\texttt{[} -2\:; 2 \\texttt{]}$.

 

      De plus, la courbe $\mathcal C_1$ et la droite $\Delta$ sont toutes les deux au-dessus de l'axe des abscisses sur l'intervalle $ \\texttt{[} -2\:; 2 \\texttt{]}$.

 

      L'aire de la partie grisée est égale à la différence de l'aire sous la courbe $\mathcal C_1$ entre $x=-2$ et $x=2$, et l'aire sous la droite entre $x=-2$ et $x=2$.

 

      Autrement dit cette aire est égale à $\displaystyle\int_{-2}^2 f(x) \,\text{d}x - \displaystyle\int_{-2}^2 (x+2) \,\text{d} x = \displaystyle\int_{-2}^2 f(x)-(x+2) \,\text{d} x = \displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \,\text{d} x $ $g(x)=\,\text{e}\,^{-x}+2x+1-x-2 =\,\text{e}\,^{-x} +x -1$;

 

      donc $g$ a pour primitive la fonction $G$ telle que $G(x)=-\,\text{e}\,^{-x} + \dfrac{x^2}{2}-x$.

 

      $\displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \,\text{d} x = G(2)-G(-2)=\left[ -\,\text{e}\,^{-x} + \dfrac{x^2}{2}-x \right]_{-2}^2 = \left (-\,\text{e}\,^{-2} + \dfrac{2^2}{2}-2 \right ) - \left ( -\,\text{e}\,^{-(-2)} +\dfrac{(-2)^2}{2} -(-2)\right )$

 

      $ \displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \,\text{d} x = -\,\text{e}\,^{-2} + 2 - 2 +\,\text{e}\,^2 - 2 - 2 =\,\text{e}\,^2 -\,\text{e}\,^{-2} - 4$

 

    $  \displaystyle\int_{-2}^2 g(x) \,\text{d}x \approx 3,25$ unités d'aire.

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \[z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\] On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.

  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$.
    1. Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    2. En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
    3. Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
  2. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables}& n \text{ entier naturel }\\ &R \text{ réel }\\ &P \text{ réel strictement positif}\\ \hline \text{Entrée}& \text{Demander la valeur de } P\\ \hline \text{ Traitement }&R \text{ prend la valeur 1}\\ &n \text{ prend la valeur 0}\\ &\text{Tant que } R > P\\ & n \text{ prend la valeur } n + 1\\ & R \text{ prend la valeur } \dfrac{\sqrt{3}}{2}R\\ &\text{Fin tant que}\\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher } n\\ \hline \end{array} $$
    1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
    2. Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
    1. Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
    2. On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{6}}$. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.
    3. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$. Les traits de construction seront apparents.


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$. Pour tout entier naturel $n$, on note $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ défini par : \[z_{0} = 1\quad \text{et}\quad z_{n+1} = \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}\right)z_{n}.\] On définit la suite $\left(r_{n}\right)$ par $r_{n} = \left|z_{n}\right|$ pour tout entier naturel $n$.
  1. Donner la forme exponentielle du nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$.
  2. $\left| \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i} \right|= \displaystyle\sqrt{\left(\dfrac{3}{4}\right )^2+ \left(\dfrac{\displaystyle\sqrt 3}{4}\right )^2}= \displaystyle\sqrt{\dfrac{9}{16}+\dfrac{3}{16}} = \displaystyle\sqrt{\dfrac{12}{16}} = \displaystyle\sqrt{\dfrac{3}{4}}= \dfrac{\displaystyle\sqrt 3}{2}$ $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i} = \dfrac{\displaystyle\sqrt 3}{2}\left ( \dfrac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{\sqrt 3}{2}} + \dfrac{\dfrac{\sqrt 3}{4}}{\dfrac{\sqrt 3}{2}}\text{i} \right ) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\left ( \dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{\sqrt 3} + \dfrac{\sqrt 3}{4} \times \dfrac{2}{\sqrt 3} \text{i} \right ) = \dfrac{\sqrt 3}{2}\left ( \dfrac{\sqrt 3}{2} + \dfrac{1}{2} \text{i}\right )$ Or $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt 3}{2}$ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$. Donc le nombre complexe $\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{3}}{4}\text{i}$ a pour module $\dfrac{\sqrt 3}{2}$ et pour argument $\dfrac{\pi}{6}$ donc sa forme exponentielle est $\dfrac{\sqrt 3}{2} \,\text{e}\,^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$.
    1. Montrer que la suite $\left(r_{n}\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
    2. $r_{n+1}= \left | z_{n+1} \right| = \left | \left ( \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\text{i}\right ) z_n \right | = \left | \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\text{i}\right | \times \left | z_n \right | = \dfrac{\sqrt 3}{2} r_n$ Donc la suite $(r_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt 3}{2}$ et de premier terme $r_0 = \left | z_0 \right | = 1$.
    3. En déduire l'expression de $r_{n}$ en fonction de $n$.
    4. La suite $(r_n)$ est géométrique donc, pour tout $n$, $r_n=r_0 \times q^n$, donc $r_n=\left (\dfrac{\sqrt 3}{2}\right )^n$.
    5. Que dire de la longueur O$A_{n}$ lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ ?
    6. $OA_n = \left |z_n\right | = r_n = \left (\dfrac{\sqrt 3}{2}\right )^n$ $(r_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{\sqrt 3}{2}$; or $-1 < \dfrac{\sqrt 3}{2} < 1$ donc la suite $(r_n)$ converge vers 0. La longueur $OA_n$ tend donc vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.
  3. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables}& n \text{ entier naturel }\\ &R \text{ réel }\\ &P \text{ réel strictement positif}\\ \hline \text{Entrée}& \text{Demander la valeur de } P\\ \hline \text{ Traitement }&R \text{ prend la valeur 1}\\ &n \text{ prend la valeur 0}\\ &\text{Tant que } R > P\\ & n \text{ prend la valeur } n + 1\\ & R \text{ prend la valeur } \dfrac{\sqrt{3}}{2}R\\ &\text{Fin tant que}\\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher } n\\ \hline \end{array} $$
    1. Quelle est la valeur affichée par l'algorithme pour $P = 0,5$ ?
    2. $$\begin{array}{|l| c| c|c| c|} \hline & n & R & P & R>P \\ \hline \text{Initialisations} & 0 & 1 & 0,5 & \text{Vrai}\\ \hline \text{Traitement} & 1 & 0,866 & 0,5 & \text{Vrai} \\ & 2 & 0,75 & 0,5 & \text{Vrai} \\ & 3 & 0,6495 & 0,5 & \text{Vrai}\\[-5pt] & 4 & 0,5625 & 0,5 & \text{Vrai}\\ & 5 & 0,487 & 0,5 & \text{Faux}\\ \hline \text{Sortie} & \text{Afficher }5&&& \\ \hline \end{array}$$ La valeur affichée par l'algorithme pour $P=0,5$ est 5.
    3. Pour $P = 0,01$ on obtient $n = 33$. Quel est le rôle de cet algorithme ?
    4. Cet algorithme s'arrête dès que $R \leq P$ et affiche alors $n$, c'est-à-dire qu'il affiche la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $R$ donc $r_n=OA_n$ est inférieur ou égal à $P$. On peut donc dire que $OA_{32} > 0,01$ et que $OA_{33} \leq 0,01$. Vérification à la calculatrice: $r_{32}\approx 0,01002 $ et $r_{33} \approx 0,00868 $.
      1. Démontrer que le triangle O$A_{n}A_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
      2. On considère le triangle $OA_nA_{n+1}$. $OA_n=r_n$ donc $(OA_n)^2=r_n^2$ $OA_{n+1} = r_{n+1}=\dfrac{\sqrt 3}{2}r_n$ donc $(OA_{n+1})^2=\dfrac{3}{4}r_n^2$ $A_nA_{n+1}=\left | z_{n+1} - z_n \right | = \left | \left ( \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\text{i} \right ) z_n -z_n \right | = \left | \left ( \dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\text{i} - 1 \right ) z_n \right | = \left | -\dfrac{1}{4} + \dfrac{\sqrt 3}{4}\text{i} \right | \times \left |z_n \right |$ $\phantom{A_nA_{n+1}}= \displaystyle\sqrt{ \left (-\dfrac{1}{4}\right )^2 + \left (\dfrac{\sqrt 3}{4} \right )^2} \times r_n = \displaystyle\sqrt{\dfrac{1}{16} + \dfrac{3}{16}} r_n = \displaystyle\sqrt{\dfrac{4}{16}}r_n = \dfrac{1}{2}r_n$ donc $(A_nA_{n+1})^2=\dfrac{1}{4}r_n^2$ $(A_nA_{n+1})^2+(OA_{n+1})^2 = \dfrac{1}{4}r_n^2+ \dfrac{3}{4}r_n^2 = r_n^2= (OA_n)^2$ D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
      3. On admet que $z_{n} = r_{n}\text{e}^{\text{i}\frac{n\pi}{6}}$. Déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles $A_{n}$ est un point de l'axe des ordonnées.
      4. Le point $A_n$, d'affixe $z_n$, appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si son argument est $\dfrac{\pi}{2}$ ou $\dfrac{3\pi}{2}$ modulo $2\pi$, c'est-à-dire $\dfrac{\pi}{2}$ modulo $\pi$, donc il peut s'écrire $\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ où $k\in \mathbb{Z}$. Le nombre $z_n$ a pour argument $\dfrac{n\pi}{6}$; $\dfrac{n\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \iff n=3 +6k$. Mais $n$ est un entier naturel donc $k$ doit être strictement positif donc appartenir à $\mathbb{N}$. Donc si $n$ s'écrit $3+6k$ avec $k\in \mathbb{N}$, alors le point $A_n$ appartient à l'axe des ordonnées.
      5. Compléter la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie, en représentant les points $A_{6}, A_{7}, A_{8}$ et $A_{9}$. Les traits de construction seront apparents.
      Le point $A_6$ a pour affixe $z_6$ qui a pour argument $\dfrac{6\pi}{6} = \pi$; ce point est donc sur l'axe des abscisses. Comme le triangle $OA_5A_6$ est rectangle en $A_6$, on trace le cercle de diamètre $\texttt{[} OA_5 \texttt{]}$; le point $A_6$ est à l'intersection de ce cercle et de l'axe des abscisses. Le point $A_7$ a pour affixe $z_7$ qui a pour argument $\dfrac{7\pi}{6}$; donc les points $A_1$, $O$ et $A_7$ sont alignés. Le point $A_7$ se trouve donc à l'intersection du cercle de diamètre $\texttt{[} OA_6 \texttt{]}$ et de la droite $(OA_1)$. Etc. (Voir figure en annexe) Remarque: les points $A_3$ et $A_9$ appartiennent à l'axe des ordonnées, ce qui correspond bien à la réponse trouvée à la question \textbf{4.b.}

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.

  • On note : $X_{n}$ l'évènement « la marque X est utilisée le mois $n$ »,
  • $Y_{n}$ l'évènement « la marque Y est utilisée le mois $n$ »,
  • $Z_{n}$ l'évènement « la marque Z est utilisée le mois $n$ ».

Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 40 % de chance d'acheter la marque Y,
  • 10 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 50 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 10 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Y.
    1. Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$. On admet que : $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
    2. Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
  1. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$. Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ Variables }& n \text{ et } i \text{ des entiers naturels.}\\ &A, B \text{ et } U \text{ des matrices }\\ \hline \text{Entrée et initialisation }& \text{ Demander la valeur de } n \\ &i \text{ prend la valeur 0}\\ &A \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\\ &B \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\\ &U \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } i < n\\ &U \text{ prend la valeur } A \times U + B\\ &i \text{ prend la valeur } i + 1\\ &\text{ Fin de Tant que } \\ \hline \text{ Sortie } & \text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$
    1. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$.
    2. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
    3. Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$.
  2. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
    1. Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.
    2. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[8pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$. En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[8pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
  3. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}$.
    2. On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$. Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques X, Y et Z se partagent le marché. Soit $n$ un entier naturel.
  • On note : $X_{n}$ l'évènement « la marque X est utilisée le mois $n$ »,
  • $Y_{n}$ l'évènement « la marque Y est utilisée le mois $n$ »,
  • $Z_{n}$ l'évènement « la marque Z est utilisée le mois $n$ ».

Les probabilités des évènements $X_{n}, Y_{n}, Z_{n}$ sont notées respectivement $x_{n}, y_{n}, z_{n}$. La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition. Un acheteur de la marque X le mois $n$, a le mois suivant :

  • 50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 40 % de chance d'acheter la marque Y,
  • 10 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Y le mois $n$, a le mois suivant :

  • 30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 50 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Z.

Un acheteur de la marque Z le mois $n$, a le mois suivant :

  • 70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
  • 10 % de chance d'acheter la marque X,
  • 20 % de chance d'acheter la marque Y.
    1. Exprimer $x_{n+1}$ en fonction de $x_{n}, y_{n}$ et $z_{n}$. On admet que : $y_{n+1} = 0,4x_{n} + 0,3y_{n} + 0,2z_{n}$ et que $z_{n+1} = 0,1x_{n} + 0,2y_{n} + 0,7 z_{n}$.
    2. Exprimer $z_{n}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$. En déduire l'expression de $x_{n+1}$ et $y_{n+1}$ en fonction de $x_{n}$ et $y_{n}$.
  1. On définit la suite $\left(U_{n}\right)$ par $U_{n} = \begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix}$ pour tout entier naturel $n$.On admet que, pour tout entier naturel $n,\: U_{n+1} = A \times U_{n} + B$ où $A = \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}$. Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : $n = 0$), on estime que $U_{0} = \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}$. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{ Variables }& n \text{ et } i \text{ des entiers naturels.}\\ &A, B \text{ et } U \text{ des matrices }\\ \hline \text{Entrée et initialisation }& \text{ Demander la valeur de } n \\ &i \text{ prend la valeur 0}\\ &A \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,4&0,4\\0,2&0,1\end{pmatrix}\\ &B \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,1\\0,2\end{pmatrix}\\ &U \text{ prend la valeur } \begin{pmatrix}0,5\\0,3\end{pmatrix}\\ \hline \text{ Traitement } & \text{Tant que } i < n\\ &U \text{ prend la valeur } A \times U + B\\ &i \text{ prend la valeur } i + 1\\ &\text{ Fin de Tant que } \\ \hline \text{ Sortie } & \text{ Afficher } U\\ \hline \end{array}$$
    1. Donner les résultats affichés par cet algorithme pour $n = 1$ puis pour $n = 3$.
    2. Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
    3. Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de $U_{n}$ en fonction de $n$. On note $I$ la matrice $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $N$ la matrice $I - A$.
  2. On désigne par $C$ une matrice colonne à deux lignes.
    1. Démontrer que $C = A \times C + B$ équivaut à $N \times C = B$.
    2. On admet que $N$ est une matrice inversible et que $N^{-1} = \begin{pmatrix}\dfrac{45}{23}&\dfrac{20}{23}\\[8pt] \dfrac{10}{23}&\dfrac{30}{23}\end{pmatrix}$. En déduire que $C = \begin{pmatrix}\dfrac{17}{46}\\[8pt] \dfrac{7}{23}\end{pmatrix}$.
  3. On note $V_{n}$ la matrice telle que $V_{n} = U_{n} - C$ pour tout entier naturel $n$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n,\: V_{n+1} = A \times V_{n}$.
    2. On admet que $U_{n} = A^n \times \left(U_{0} - C\right) + C$. Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?

 

ANNEXE EXERCICE 3
À compléter et à rendre avec la copie

 

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