Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013 - Spécialité

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Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le gestionnaire d'un site web, composé de trois pages web numérotées de 1 à 3 et reliées entre elles par des liens hypertextes, désire prévoir la fréquence de connexion sur chacune de ses pages web.
Des études statistiques lui ont permis de s'apercevoir que :

    • Si un internaute est sur la page no 1, alors il ira, soit sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit sur la page nosup> 3 avec la probabilité $\dfrac{3}{4}$.

 

    • Si un internaute est sur la page no 2, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$ soit il restera sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$, soit il ira sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.

 

  • Si un internaute est sur la page no 3, alors, soit il ira sur la page no 1 avec la probabilité $\dfrac{1}{2}$, soit il ira sur la page no 2 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$,soit il restera sur la page no 3 avec la probabilité $\dfrac{1}{4}$.


Pour tout entier naturel $n$, on définit les évènements et les probabilités suivants :
$A_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 1 » et on note $a_{n} = P\left(A_{n}\right)$.

$B_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 2 » et on note $b_{n} = P\left(B_{n}\right)$.

$C_{n}$ : «Après la $n$-ième navigation, l'internaute est sur la page no 3 » et on note $c_{n} = P\left(C_{n}\right)$.

  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}$.
    On admet que, de m\^eme, $b_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$ et $c_{n+1} = \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}$.
    Ainsi :
    \[\left\{\begin{array}{l c l} a_{n+1} &=& \dfrac{1}{2} b_{n} + \dfrac{1}{2}c_{n}\\ b_{n+1} &=& \dfrac{1}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n}\\ c_{n+1} &=& \dfrac{3}{4}a_{n} + \dfrac{1}{4}b_{n} + \dfrac{1}{4}c_{n} \end{array}\right.\]
  2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $U_{n} = \begin{pmatrix} a_{n}\\b_{n}\\c_{n}\end{pmatrix}$.
    $U_{0} = \begin{pmatrix} a_{0}\\b_{0}\\c_{0}\end{pmatrix}$ représente la situation initiale, avec $a_{0} + b_{0} + c_{0} = 1$.
    Montrer que, pour tout entier naturel $n, U_{n+1} = MU_{n}$ où $M$ est une matrice $3 \times 3$ que l'on précisera.
    En déduire que, pour tout entier naturel $n, U_{n} = M^nU_{0}$.
  3. Montrer qu'il existe une seule matrice colonne $U =\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ telle que : $x + y + z = 1$ et $MU = U$.
  4. Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir l'expression de $M^n, n$ étant un entier naturel non nul :
    \[M^n = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n \times 2}{3}&\frac{1}{3} + \frac{\left( \frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3}&\frac{1}{3} + \frac{\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{- 3}\\ \frac{1}{4}&\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\ \frac{5}{12} + \frac{\left(-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n\right) \times 2}{3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n}{-3}&\frac{5}{12} + \frac{-\left(\frac{- 1}{2}\right)^n }{- 3} \end{pmatrix}\]
    Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer $a_{n},   b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$. En déduire que les suites $\left(a_{n}\right),   \left(b_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ convergent vers des limites que l'on précisera.
  5. Interpréter les résultats obtenus et donner une estimation des pourcentages de fréquentation du site à long terme.

 

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