Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct. On considère l'équation
\[(E) :\quad z^2 - 2z\sqrt{3} + 4 = 0.\]

1. Résoudre l'équation $(E)$ dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.
2. On considère la suite $\left(M_{n}\right)$ des points d'affixes $z_{n} = 2^n \text{e}^{\text{i}(- 1)^n\frac{\pi}{6}}$, définie pour $n \geqslant 1$.
   1. Vérifier que $z_{1}$ est une solution de $(E)$.
   2. Écrire $z_{2}$ et $z_{3}$ sous forme algébrique.
   3. Placer les points $M_{1},\: M_{2},\: M_{3}$ et $M_{4}$ sur la figure donnée en annexe et tracer, sur la figure donnée en annexe, les segments $\left[M_{1}, M_{2}\right],\: \left[M_{2}, M_{3}\right]$ et $\left[M_{3}, M_{4}\right]$.
3. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1$,  $z_{n} = 2^n \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{(- 1)^n \text{i}}{2}\right)$.
4. Calculer les longueurs $M_{1}M_{2}$ et $M_{2}M_{3}$.

 

Pour la suite de l'exercice, on admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, $M_{n}M_{n+1} = 2^n \sqrt{3}$.
1. On note $\ell_n = M_{1}M_{2} + M_{2}M_{3} + \cdots + M_{n}M_{n+1}$.
   1. Montrer que, pour tout entier $n \geqslant 1,\; \ell_n = 2\sqrt{3}\left(2^n - 1\right)$.
   2. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $\ell_n \geqslant 1000 $.