Baccalauréat S Amérique du Sud 21 novembre 2013 - Exercice 3

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Exercice 3 5 points

Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
Partie A
En utilisant sa base de données, la sécurité sociale estime que la proportion de Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme est de 10 %. L'étude a également permis de prouver que 30 % des Français présentant, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme, seront victimes d'un accident cardiaque au cours de leur vie alors que cette proportion n'atteint plus que 8 % pour ceux qui ne souffrent pas de cette malformation congénitale.
On choisit au hasard une personne dans la population française et on considère les évènements : $M$ : «La personne présente, à la naissance, une malformation cardiaque de type anévrisme »
$C$ : «La personne est victime d'un accident cardiaque au cours de sa vie ».

1. 1. Montrer que $P(M \cap C) = 0,03$.
   2. Calculer $P(C)$.
2. On choisit au hasard une victime d'un accident cardiaque. Quelle est la probabilité qu'elle présente une malformation cardiaque de type anévrisme ?

Partie B
La sécurité sociale décide de lancer une enquête de santé publique, sur ce problème de malformation cardiaque de type anévrisme, sur un échantillon de $400$ personnes, prises au hasard dans la population française. On note $X$ la variable aléatoire comptabilisant le nombre de personnes de l'échantillon présentant une malformation cardiaque de type anévrisme.

1. Définir la loi de la variable aléatoire $X$.
2. Déterminer $P(X = 35)$.
3. Déterminer la probabilité que $30$ personnes de ce groupe, au moins, présentent une malformation cardiaque de type anévrisme.

Partie C

1. On considère la variable aléatoire $F$, définie par $F = \dfrac{X}{400}, X$ étant la variable aléatoire de la Partie B . Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de $95$ %.
2. Dans l'échantillon considéré, $60$ personnes présentent une malformation cardiaque de type anévrisme. Qu'en pensez-vous?