Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Correction de l'Exercice 1

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Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1. Étude d'une fonction auxiliaire
    1. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ; +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    2. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\text{e}^x(2+x)$.
      Par conséquent sur $[0;+\infty[$, $g'(x) \ge 0$ (et ne s’annule qu’en $0$) et $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ; +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
    4. $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
      $g(0) = -1$
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty$ , $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x) = +\infty$.
      D'après le théorème de la bijection :
      • $\1 $ est une fonction dérivable  donc  continue  sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
      • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
      • $\1 \left(\2\right)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$
      $\1$ réalise donc une bijection de $\left[\2 ; \3\right[$ sur $\left[\4;\5\right[$
      $\6\in \left[\4;\5\right[$,
      donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left[\2 ; \3\right[$ .

      Encadrement de $\alpha$ à $10^{-\2}$ pès :

      Avec une calculatrice on obtient :

        $\3\left(\4\right)\approx \5$  et  $\3\left(\6\right)\approx \7$
      On a donc $\3\left(\4\right)<\8<\3\left(\6\right)$, soit $\3\left(\4\right)<\3\left(\1\right)<\3\left(\6\right)$
      comme  $\3$  est strictement croissante sur $\left[\9;\10\right]$; on déduit $\4<\1< \6$

      $$\4<\1< \6$$
    5. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ; +\infty[$.
    6. Par conséquent, en utilisant le fait que $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
      $g(x) < 0$ sur $[0;a[$, $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$.
  2. Étude de la fonction h $f$
    1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty$.
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$.
    3. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    4. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
      Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 \text{e}^x-1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    5. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
    6. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$
    7. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
    8. $f$ admet donc un minimum en $a$. Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$.
      d’où $\text{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$.
      $m= f(a) = \text{e}^a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
    9. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
    10. $0,703 < a < 0,704$ donc $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$
      On a donc également $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$ Soit $\dfrac{1}{0,704} + \dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
      D’où $3,43 < m < 3,45$.

 

Exercice 2
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