Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013

 

Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1. Étude d'une fonction auxiliaire
    1. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ;  +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    2. Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ;  +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
    3. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ;  +\infty[$.
  2. Étude de la fonction h $f$
    1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    2. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    3. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ;  +\infty[$.
    4. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
    5. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.

 

 


Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction dérivable, définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par
\[f(x) = \text{e}^x + \dfrac{1}{x}.\]

  1. Étude d'une fonction auxiliaire
    1. Soit la fonction $g$ dérivable, définie sur $[0 ; +\infty[$ par \[g(x) = x^2\text{e}^x - 1.\] Étudier le sens de variation de la fonction $g$.
    2. $g'(x) = 2x\text{e}^x + x^2\text{e}^x = x\text{e}^x(2+x)$.
      Par conséquent sur $[0;+\infty[$, $g'(x) \ge 0$ (et ne s’annule qu’en $0$) et $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
    3. Démontrer qu'il existe un unique réel $a$ appartenant à $[0 ; +\infty[$ tel que $g(a) = 0$. Démontrer que $a$ appartient à l'intervalle [0,703 ; 0,704[.
    4. $g$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty[$.
      $g(0) = -1$
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^2 = +\infty$ , $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}g(x) = +\infty$.
      D'après le théorème de la bijection :
      • $\1 $ est une fonction dérivable  donc  continue  sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
      • $\1$ est strictement croissante sur l' intervalle $I = \left[\2 ; \3\right[$.
      • $\1 \left(\2\right)=\4$ et $\lim\limits_{x \to \3}~\1(x)=\5$
      $\1$ réalise donc une bijection de $\left[\2 ; \3\right[$ sur $\left[\4;\5\right[$
      $\6\in \left[\4;\5\right[$,
      donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left[\2 ; \3\right[$ .

      Encadrement de $\alpha$ à $10^{-\2}$ pès :

      Avec une calculatrice on obtient :

        $\3\left(\4\right)\approx \5$  et  $\3\left(\6\right)\approx \7$
      On a donc $\3\left(\4\right)<\8<\3\left(\6\right)$, soit $\3\left(\4\right)<\3\left(\1\right)<\3\left(\6\right)$
      comme  $\3$  est strictement croissante sur $\left[\9;\10\right]$; on déduit $\4<\1< \6$

      $$\4<\1< \6$$
    5. Déterminer le signe de $g(x)$ sur $[0 ; +\infty[$.
    6. Par conséquent, en utilisant le fait que $g$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$
      $g(x) < 0$ sur $[0;a[$, $g(a) = 0$ et $g(x) > 0$ sur $]a;+\infty[$.
  2. Étude de la fonction h $f$
    1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$.
    2. $\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \text{e}^x = 1$ et $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x) = +\infty$.
      $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \text{e}^x = +\infty$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty$.
    3. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$. Démontrer que pour tout réel strictement positif $x,\: f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    4. $f$ est une somme de fonctions dérivables sur $]0;+\infty[$; elle est donc également dérivable sur cet intervalle.
      Et $f'(x) = \text{e}^x – \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{x^2 \text{e}^x-1}{x^2} = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
    5. En déduire le sens de variation de la fonction $f$ et dresser son tableau de variation sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$.
    6. Le signe de $f'(x)$ ne dépend donc que de celui de $g(x)$
    7. Démontrer que la fonction $f$ admet pour minimum le nombre réel $m = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a}$.
    8. $f$ admet donc un minimum en $a$. Or $g(a) = a^2\text{e}^a-1 = 0$.
      d’où $\text{e}^a = \dfrac{1}{a^2}$.
      $m= f(a) = \text{e}^a + \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a}$.
    9. Justifier que $3,43 < m < 3,45$.
    10. $0,703 < a < 0,704$ donc $\dfrac{1}{0,704} < \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{0,703}$
      On a donc également $\dfrac{1}{0,704^2} < \dfrac{1}{a^2} < \dfrac{1}{0,703^2}$ Soit $\dfrac{1}{0,704} + \dfrac{1}{0,704^2} < m < \dfrac{1}{0,703} + \dfrac{1}{0,703^2}$
      D’où $3,43 < m < 3,45$.

 


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
PARTIE A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Variables :}& N \text{ est un entier }\\ &U, V, W \text{ sont des réels}\\ &K \text{est un entier } \\ \text{Début :}& \text{ Affecter 0 à } K\\ & \text{ Affecter 2 à } U \\ &\text{ Affecter 10 à } V\\ &\text{ Saisir } N\\ &\text{ Tant que } K < N\\ & \text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K\\ & \text{ Affecter } U \text{ à } W\\ & \text{ Affecter } \dfrac{2U+V}{3} \text{ à } U\\ & \text{ Affecter } \dfrac{W+3V}{4} \text{ à } V\\ &\text{ Fin tant que }\\ &\text{Afficher } U \\ &\text{ Afficher } V\\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$
PARTIE B

    1. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
    2. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$.
    3. En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
  1. Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
  2. Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.

 


Exercice 2 5 points


Commun à tous les candidats


Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
PARTIE A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Variables :}& N \text{ est un entier }\\ &U, V, W \text{ sont des réels}\\ &K \text{est un entier } \\ \text{Début :}& \text{ Affecter 0 à } K\\ & \text{ Affecter 2 à } U \\ &\text{ Affecter 10 à } V\\ &\text{ Saisir } N\\ &\text{ Tant que } K < N\\ & \text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K\\ & \text{ Affecter } U \text{ à } W\\ & \text{ Affecter } \dfrac{2U+V}{3} \text{ à } U\\ & \text{ Affecter } \dfrac{W+3V}{4} \text{ à } V\\ &\text{ Fin tant que }\\ &\text{Afficher } U \\ &\text{ Afficher } V\\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$

K W U V
$0$   $2$ $10$
$1$ $2$ $\frac{14}{3}$ $8$
$2$ $\frac{14}{3}$ $\frac{52}{9}$ $\frac{43}{6}$

PARTIE B

 

    1. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$.
    2. $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} = \dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12}$
      $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{-5u_n+5v_n}{12} = \dfrac{5}{12}(v_n-u_n)$
    3. Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    4. On a donc $w_{n+1} = \dfrac{5}{12}w_n$ et $w_0 = 10 – 2 = 8$.
      $(w_n)$ est donc une suite géoémtrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $8$.
      D’où $w_n = 8 \times \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$.
    1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante.
    2. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3} – u_n = \dfrac{v_n-u_n}{3} = \dfrac{w_n}{3} > 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc croissante.
      $v_{n+1} – v_n = \dfrac{u_n+3v_n}{4} – v_n = \dfrac{u_n-v_n}{4} = \dfrac{-w_n}{4} < 0$.
      La suite $(v_n)$ est donc décroissante.
    3. Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$.
    4. On a donc $u_0 <u_1< … < u_n < … <v_n < … < v_1 < v_0$.
      On ne peut pas trouver $2$ indices $n$ et $m$ tels que $u_n > v_m$.
      En effet, si $n < m$ alors $u_m > u_n > v_m$ ce qui est impossible car $v_n – u_n > 0$ pour tout $n$.
      Si $n > m$ alors $u_n > v_m > v_n$ ce qui est encore impossible.
      Donc, pour tout $n$, on a $b_n \ge u_0 = 2$ et $u_n \le v_0 = 10$.
      Remarque : les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes
    5. En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes.
    6. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée; elle converge donc.
      De même, la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée. Elle converge aussi.
  1. Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite.
  2. On appelle $U$ et $V$ les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
    On a donc $U = \dfrac{2U+V}{3}$ et $V = \dfrac{U+3V}{4}$.
    D’où $3U=2U+V \Leftrightarrow U = V$.
    Les $2$ suites ont donc bien la même limite $U$.
  3. Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$.
  4. $t_{n+1} = 3u_{n+1} + 4v_{n+1} = 2u_n+v_n+u_n+3v_n = 3u_n+4v_n = t_n$.
    La suite $(t_n)$ est donc constante et, pour tout $n$, on a donc $t_n = t_0 = 3u_0+4v_0=46$.
    En passant à la limite on obtient alors $46 = 3U + 4U$ soit $U = \dfrac{46}{7}$.

 

 


Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$.
    Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est 0,0124 . On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
  2. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : «la bille choisie est aux normes », $A$ l'évènement : «la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle ».
    1. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé.
    2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
    3. Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?

Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de \np{0,0124}. On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l'ensemble des billes fabriquées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
  2. Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
  3. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
  4. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?

Exercice 3 5 points


Commun à tous les candidats

Tous les résultats numériques devront être donnés sous forme décimale et arrondis au dix-millième.
Une usine fabrique des billes sphériques dont le diamètre est exprimé en millimètres. Une bille est dite hors norme lorsque son diamètre est inférieur à 9 mm ou supérieur à 11 mm.
Partie A

  1. On appelle $X$ la variable aléatoire qui à chaque bille choisie au hasard dans la production associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,4$.
    Montrer qu'une valeur approchée à 0,0001 près de la probabilité qu'une bille soit hors norme est 0,0124 . On pourra utiliser la table de valeurs donnée en annexe.
    • Avec la table :
      On cherche donc :
      $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = P(X < 9) + P(X > 11)$ car les événements sont disjoints.
      $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = 0,00620967 + 1 – P(X < 11) = 0,00620967 + 1 – 0,99379034 = 0,01241933$
      $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) = 0,01241933 \approx 0,0124$.
      Remarque : attention à ne pas confondre les numéros des lignes de calcul avec la valeur de $d$ dans l’annexe !
    • Avec la calculatrice :

      2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

       

      2ND DISTR 2NORMALFRép( $\1$ , $10^{99}$,\2,$\3$)EXE
      Avec une calculatrice de type TI

      $$NormalFR\text{é}p(\1,10^{99},\2,\3) \approx \4$$

      $$P( \5 \geq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
      Ainsi $P\left( (X <9) \cup (X > 11) \right) =2\times 0,00620967 = 0,01241933$.
  1. On met en place un contrôle de production tel que 98 % des billes hors norme sont écartés et 99 % des billes correctes sont conservées. On choisit une bille au hasard dans la production. On note $N$ l'évènement : «la bille choisie est aux normes », $A$ l'évènement : «la bille choisie est acceptée à l'issue du contrôle ».
    1. Construire un arbre pondéré qui réunit les données de l'énoncé.
    2. Calculer la probabilité de l'évènement $A$.
    3. $p(A) = p(A \cap N) + p(A \cap \bar{N})$ (d’après la formule des probabilités totales).
      $p(A) = 0,9876 \times 0,99 + 0,0124 \times 0,02 = 0,9780$.
    4. Quelle est la probabilité pour qu'une bille acceptée soit hors norme ?
    5. On cherche $p_A(\bar{N}) = \dfrac{p(A \cap \bar{N})}{p(A} = \dfrac{0,0124 \times 0,02}{0,9780} \approx 3 \times 10^{-4}$.

Partie B
Ce contrôle de production se révélant trop coûteux pour l'entreprise, il est abandonné : dorénavant, toutes les billes produites sont donc conservées, et elles sont conditionnées par sacs de 100 billes. On considère que la probabilité qu'une bille soit hors norme est de 0,0124 . On admettra que prendre au hasard un sac de $100$ billes revient à effectuer un tirage avec remise de $100$ billes dans l'ensemble des billes fabriquées. On appelle $Y$ la variable aléatoire qui à tout sac de $100$ billes associe le nombre de billes hors norme de ce sac.

  1. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $Y$ ?
  2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

    • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
    • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

  3. Quels sont l'espérance et l'écart-type de la variable aléatoire $Y$ ?
  4. $E(Y) = np = 1,24$ et $\sigma(Y) = \sqrt{np(1-p)} \approx 1,1066$.
  5. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne exactement deux billes hors norme ?
  6. 2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

    $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
  7. Quelle est la probabilité pour qu'un sac de $100$ billes contienne au plus une bille hors norme ?
  8. $P(Y \le 1) = P(Y=0) + P(Y=1) $
    $P(Y \le 1) = (1-0,0124)^100 + \binom{100}{1}\times 0,0124 \times (1-0,0124)^{99} \approx 0,6477$
    ou de façon plus directe:

     

    2ND DISTR AbinomFRép( \1 , \2,\3)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $$binomFR\text{é}p(\1,\2,\3) \approx \4$$

    $$P( \5 \leq \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$

 


Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
  2. Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
  3. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
  4. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés.
  5. Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.

Exercice 4 5 points


Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse.

  1. Proposition : Pour tout entier naturel $n :\: (1 + \text{i})^{4n} = (- 4)^n$.
  2. Affirmation vraie
    >$(1+\text{i})^{4n} = \left((1+\text{i})^4 \right)^n = \left( \left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi /4}\right)^4 \right)^n = (4\text{e}^{\text{i}\pi})^n = (-4)^n$
  3. Soit (E) l'équation $(z - 4)\left(z^2 - 4z + 8\right) = 0$ où $z$ désigne un nombre complexe.
    Proposition : Les points dont les affixes sont les solutions, dans $\mathbb{C}$, de (E) sont les sommets d'un triangle d'aire 8.
  4. Affirmation fausse
    Cherchons les solutions de $z^2-4z+8 = 0$.
    $\Delta = (-4)^2-4\times 8 = -16 < 0$.
    Cette équation possède donc $2$ solutions complexes :
    $\dfrac{4-4\text{i}}{2} = 2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    Les solutions de (E) sont donc les nombres $4$, $2 – 2\text{i}$ et $2 + 2\text{i}$.
    On appelle $A$, $B$ et $C$ les points dont ces nombres sont les affixes.
    $B$ et $C$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses et $A$ est sur c et axe.
    Par conséquent $ABC$ est isocèle en $A$.
    Le milieu de $[BC]$ a pour affixe $2$ et $BC = |z_C – z_B| = |4\text{i}| = 4$.
    L’aire du triangle $ABC$ est donc $\dfrac{4\times(4-2)}{2} = 4$.
  5. Proposition : Pour tout nombre réel $\alpha,\: 1 + \text{e}^{2i\alpha} = 2\text{e}^{\text{i}\alpha} \cos(\alpha)$.
  6. Affirmation vraie
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} = 1 + \cos(2\alpha) + \text{i} \sin(2\alpha) = 1 + 3\cos^2(\alpha) – 1 + 2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha)$
    $1 + \text{e}^{2\text{i}\alpha} =2\cos^2(\alpha)+2\text{i}\sin(\alpha)\cos(\alpha) = 2\cos(\alpha)\left( \cos(\alpha) + \text{i}\sin(\alpha) \right) = 2\text{e}^{\text{i}\alpha}\cos(\alpha)$.
  7. Soit A le point d'affixe $z_{\text{A}} = \dfrac{1}{2}(1 + \text{i})$ et $M_{n}$ le point d'affixe $\left(z_{\text{A}}\right)^n$ où $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
    Proposition : si $n - 1$ est divisible par 4, alors les points O, A et $M_{n}$ sont alignés.
  8. Affirmation vraie
    affixe de $\vec{OA} : a = \dfrac{1}{2}(1+i)$
    affixe de $\vec{OM_n} : m_n = \left(\dfrac{1}{2}(1+i) \right)^n$.
    $O$, $A$ et $M_n$ sont alignés $\Leftrightarrow \dfrac{m_n}{a}\in \mathbb R$.
    Or $\dfrac{m_n}{a} = \left( \dfrac{1}{2}(1+i)\right) ^{n-1} = \left( \dfrac{1}{2}\left(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi/4} \right) \right)^{n-1} = \dfrac{\sqrt{2}^{n-1}}{2^{n-1}}\text{e}^{(n-1)\text{i}\pi/4}$
    $\dfrac{m_n}{a}\in \mathbb R \Leftrightarrow \dfrac{n-1}{4}\in \mathbb N \Leftrightarrow n-1$ divisible par $4$.
  9. Soit j le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$.
    Proposition : $1 + \text{j} + \text{j}^2 = 0$.
  10. Affirmation vraie
    $j=\text{e}^{2\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{2\pi}{3} + \text{i} \sin \dfrac{2\pi}{3} = -0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$.
    Donc $j^2 = \text{e}^{4\text{i}\pi/3} = \cos \dfrac{4\pi}{3} + \text{i}\sin \dfrac{4\pi}{3} = -0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}$
    Finalement $1+j+j^2 = 1 – 0,5 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} – 0,5 – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i} = 0$
    remarque : on pouvait également dire que $1+j+j^2 = \dfrac{1-j^3}{1-j}$.
    Et $1-j^3 = 1 – \text{e}^{2\text{i}\pi}=0$.

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «$\star$ » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur «$\star$ » le nombre 26.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur «$\star$ » a pour rang $26$.

Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$. Exemple : $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

  1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  3. Proposer une méthode de décodage.
  4. Décoder le mot «$vfv$ ».

Spécialité 5 points


Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $E$ l'ensemble des vingt-sept nombres entiers compris entre $0$ et $26$.

On note $A$ l'ensemble dont les éléments sont les vingt-six lettres de l'alphabet et un séparateur entre deux mots, noté «$\star$ » considéré comme un caractère.

Pour coder les éléments de $A$, on procède de la façon suivante :
Premièrement : On associe à chacune des lettres de l'alphabet, rangées par ordre alphabétique, un nombre entier naturel compris entre 0 et 25, rangés par ordre croissant. On a donc $a \to 0,\: b \to 1, \ldots z \to 25$.

On associe au séparateur «$\star$ » le nombre 26.
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&b&c&d&e&f&g&h&i&j&k&l&m&n\\ \hline 0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline o&p&q&r&s&t&u&v&w&x&y&z&\star \\ \hline 14&15&13&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26 \\ \hline \end{array}$$
On dit que $a$ a pour rang $0, b$ a pour rang 1, ... , $z$ a pour rang $25$ et le séparateur «$\star$ » a pour rang $26$.

Deuxièmement : à chaque élément $x$ de $E$, l'application $g$ associe le reste de la division euclidienne de $4x + 3$ par $27$.

On remarquera que pour tout $x$ de $E,\: g(x)$ appartient à $E$.

Troisièmement : Le caractère initial est alors remplacé par le caractère de rang $g(x)$. Exemple : $s \to 18, \quad g(18) = 21$ et $21 \to v$. Donc la lettre $s$ est remplacée lors du codage par la lettre $v$.

  1. Trouver tous les entiers $x$ de $E$ tels que $g(x) = x$ c'est-à-dire invariants par $g$.
    En déduire les caractères invariants dans ce codage.
  2. On cherche les valeurs de $x$ telles que $4x+3 \equiv x [27]$.
    $\Leftrightarrow 3x + 3 \equiv 0 [27]$
    $\Leftrightarrow 3(x + 1) \equiv 0 [27]$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $3(x+1) = 27k$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x+1 = 9k$
    $\Leftrightarrow$ il existe $k\in \mathbb Z$ tel que $x = 9k – 1$
    $\Leftrightarrow x \in \{8;17;26\}$
    Les seuls caractères invariants sont donc $i$, $r$ et $\star$
  3. Démontrer que, pour tout entier naturel $x$ appartenant à $E$ et tout entier naturel $y$ appartenant à $E$, si $y \equiv 4x + 3$ modulo 27 alors $x \equiv 7y + 6$ modulo 27. En déduire que deux caractères distincts sont codés par deux caractères distincts.
  4. Si $u \equiv 4x + 3 [27]$ alors$ 7y+6 \equiv 28x + 21 + 6 [27] \equiv 28x [27] \equiv x[27]$
    Considérons $2$ caractères distincts codés par les nombres $x$ et $z$.
    On sait que $0 \le x \le 26$ et $0 \le z \le 26$.
    Si $g(x) = g(z) = y$ alors $x \equiv 7y +6 [27]$ et $z \equiv 7y+6$ et par conséquent $x \equiv z [27]$.
    Ce qui est impossible puisque les caractères étaient distincts.
    Donc $2$ caractères distincts sont codés par $2$ caractères distincts.
  5. Proposer une méthode de décodage.
  6. Pour décoder un caractère $y$ il suffit de calculer $7y+6$ modulo $27$.
  7. Décoder le mot «$vfv$ ».
  8. $v$ est codé par $21$ et $f$ est codé par $5$.
    $7 \times 21 + 6 = 153 \equiv 18 [27]$ : caratère $s$
    $7 \times 5 + 6 = 41 \equiv 14 [27]$ : caractère $o$
    Par conséquent $vfv$ est décodé en $sos$.

 


 

Annexe de l'exercice 3

 

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline &A&B\\ \hline 1&d &P(X \leq d)\\ \hline 2&0 &3,06E-138\\ \hline 3&1 &2,08E-112\\ \hline 4&2 &2,75E-89\\ \hline 5&3 &7,16E-69\\ \hline 6&4 &3,67E-51\\ \hline 7&5 &3,73E-36\\ \hline 8&6 &7,62E-24\\ \hline 9&7 &3,19E-14\\ \hline 10&8 &2,87E-07\\ \hline 11&9 &0,00620967\\ \hline 12&10 &0,5\\ \hline 13&11 &0,99379034\\ \hline 14&12 & 0,99999971\\ \hline 15&13 &1\\ \hline 16&14 & 1\\ \hline 17&15 &1\\ \hline 18&16 &1 \\ \hline 19&17 &1\\ \hline 20&18 &1\\ \hline 21&19 &1\\ \hline 22&20 &1\\ \hline 23&21 &1\\ \hline 24&22 &1\\ \hline 25& &\\ \hline \end{array}$$

Copie d'écran d'une feuille de calcul

 

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