Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 14 novembre 2013 - Correction de l'Exercice 2
Exercice 2 5 points
Soient deux suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par $u_{0} = 2$ et $v_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \dfrac{2u_{n} + v_{n}}{3} \quad \text{et}\quad v_{n+1} = \dfrac{u_{n} + 3v_{n}}{4}.\]
PARTIE A
On considère l'algorithme suivant :
$$\begin{array}{ |c|c|}\hline \text{Variables :}& N \text{ est un entier }\\ &U, V, W \text{ sont des réels}\\ &K \text{est un entier } \\ \text{Début :}& \text{ Affecter 0 à } K\\ & \text{ Affecter 2 à } U \\ &\text{ Affecter 10 à } V\\ &\text{ Saisir } N\\ &\text{ Tant que } K < N\\ & \text{ Affecter } K + 1 \text{ à } K\\ & \text{ Affecter } U \text{ à } W\\ & \text{ Affecter } \dfrac{2U+V}{3} \text{ à } U\\ & \text{ Affecter } \dfrac{W+3V}{4} \text{ à } V\\ &\text{ Fin tant que }\\ &\text{Afficher } U \\ &\text{ Afficher } V\\ \text{Fin}&\\ \hline \end{array}$$
K | W | U | V |
$0$ | $2$ | $10$ | |
$1$ | $2$ | $\frac{14}{3}$ | $8$ |
$2$ | $\frac{14}{3}$ | $\frac{52}{9}$ | $\frac{43}{6}$ |
PARTIE B
-
- Montrer que pour tout entier naturel $n,\: v_{n+1} - u_{n+1} = \dfrac{5}{12} \left(v_{n} - u_{n}\right)$. $v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{u_n+3v_n}{4}-\dfrac{2u_n+v_n}{3} = \dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12}$
- Pour tout entier naturel $n$ on pose $w_{n} = v_{n} - u_{n}$. Montrer que pour tout entier naturel $n,\: w_{n} = 8 \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$. On a donc $w_{n+1} = \dfrac{5}{12}w_n$ et $w_0 = 10 – 2 = 8$.
$v_{n+1} – u_{n+1} = \dfrac{-5u_n+5v_n}{12} = \dfrac{5}{12}(v_n-u_n)$
$(w_n)$ est donc une suite géoémtrique de raison $\dfrac{5}{12}$ et de premier terme $8$.
D’où $w_n = 8 \times \left(\dfrac{5}{12} \right)^n$. -
- Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante et que la suite $\left(v_{n}\right)$ est décroissante. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n+v_n}{3} – u_n = \dfrac{v_n-u_n}{3} = \dfrac{w_n}{3} > 0$.
- Déduire des résultats des questions 1. b. et 2. a. que pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n} \leqslant 10$ et $v_{n} \geqslant 2$. On a donc $u_0 <u_1< … < u_n < … <v_n < … < v_1 < v_0$.
- En déduire que tes suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée; elle converge donc.
La suite $(u_n)$ est donc croissante.
$v_{n+1} – v_n = \dfrac{u_n+3v_n}{4} – v_n = \dfrac{u_n-v_n}{4} = \dfrac{-w_n}{4} < 0$.
La suite $(v_n)$ est donc décroissante.
On ne peut pas trouver $2$ indices $n$ et $m$ tels que $u_n > v_m$.
En effet, si $n < m$ alors $u_m > u_n > v_m$ ce qui est impossible car $v_n – u_n > 0$ pour tout $n$.
Si $n > m$ alors $u_n > v_m > v_n$ ce qui est encore impossible.
Donc, pour tout $n$, on a $b_n \ge u_0 = 2$ et $u_n \le v_0 = 10$.
Remarque : les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont dites adjacentes
De même, la suite $(v_n)$ est décroissante et minorée. Elle converge aussi. - Montrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ ont la même limite. On appelle $U$ et $V$ les limites des suites $(u_n)$ et $(v_n)$.
- Montrer que la suite $\left(t_{n}\right)$ définie par $t_{n} = 3u_{n} + 4v_{n}$ est constante. En déduire que la limite commune des suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ est $\dfrac{46}{7}$. $t_{n+1} = 3u_{n+1} + 4v_{n+1} = 2u_n+v_n+u_n+3v_n = 3u_n+4v_n = t_n$.
On a donc $U = \dfrac{2U+V}{3}$ et $V = \dfrac{U+3V}{4}$.
D’où $3U=2U+V \Leftrightarrow U = V$.
Les $2$ suites ont donc bien la même limite $U$.
La suite $(t_n)$ est donc constante et, pour tout $n$, on a donc $t_n = t_0 = 3u_0+4v_0=46$.
En passant à la limite on obtient alors $46 = 3U + 4U$ soit $U = \dfrac{46}{7}$.
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