Baccalauréat S Asie 18 juin 2013 - Correction de l'Exercice 3

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Exercice 3 4 points 


Commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
\[a = 2 + 2\text{i},\quad b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\]

  1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
  2. $b-a=-\sqrt{3}+\text{i}-2-2\text{i}$ $=-2-\sqrt{3}-\text{i}$
    $c-a=1+\text{i}\sqrt{3}-2-2\text{i}$ $=-1+\left(-2+\sqrt{3} \right)\text{i}$
    Mais $\left(2+\sqrt{3}\right)(c-a) = -2-\sqrt{3} + \left(2+\sqrt{3}\right) \left(-2+\sqrt{3}\right)\text{i}$ $=-2\sqrt{3}-\text{i}=b-a$
    Donc :
    $$\dfrac{b-a}{c-a} = 2+\sqrt{3} \in \mathbb R$$
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    Affirmation vraie
  3.  Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
  4. $|e-b|=\sqrt{8}$ $\quad |e-c|=\sqrt{8}$ $\quad |e-d| = 2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    Affirmation fausse
  5. Dans cette question, l'espace est muni d'un repère $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).
    Affirmation 3 : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 - t \\ y &=& 6 - 2 t\\ z &=&-2 + t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$, coupe le plan (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2} ; 1 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
  6. Une équation cartésienne de $(IJK)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$
    $I \in (IJK)$ donc $a+d=0$. On obtient de même $b+d=0$ et $c+d=0$.
    Soit $a=b=c=-d$. Prenons $d=-1$.
    Une équation de $(IJK)$ est donc
    $$x+y+z-1=0$$
    Regardons si $E$ appartient à ce plan : $\dfrac{-1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-1 = 0$. C’est effectivement le cas.
    De plus $E \in \mathcal{D}$ (il suffit de prendre $t=\frac{5}{2}$).
    Affirmation vraie
  7. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

    Affirmation 4 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.
  8. (EFGH) est un carré donc le milieu T de [HF] est le milieu de [EG]. On a donc $\vec{ET} =\dfrac{1}{2}\vec{EG}$
    En prenant par exemple le repère $(A, \vec{AB}; \vec{AD};\vec{AE})$ calculons le produit scalaire : $\vec{AT}.\vec{EC}$ $ = \left(\vec{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AD} \right) \right).\left(-\vec{AE}+\vec{AB}+\vec{AC} \right)$
    $\vec{AT}.\vec{EC}$ $=-AE^2+\dfrac{1}{2}AB^2+\dfrac{1}{2}AD^2 = 0$
    Affirmation vraie

 

Exercice 4
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