Baccalauréat S Asie 18 juin 2013

Exercice 1  5 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20  % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • évènement A : «la boîte provient du fournisseur A »
  • évènement B : «la boîte provient du fournisseur B »
  • évènement S : «la boîte présente des traces de pesticides ».

 

  1. Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
    1. Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
    2. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
  2. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?


Partie B
Le gérant d'un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
  3. Calculer la probabilité qu'au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Partie C
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: «88 % de notre thé est garanti sans trace de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève $50$ boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$. On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de 95 %.
  2. L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mensongère ?

Exercice 1 5 points


Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.

Partie A
Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B.
10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

  • évènement A : «la boîte provient du fournisseur A »
  • évènement B : «la boîte provient du fournisseur B »
  • évènement S : «la boîte présente des traces de pesticides ».

 

  1. Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
    1. Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ?
    2. $p \left( B \cap \bar{S} \right) = 0,2 \times 0,8 = 0,16$
    3. Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
    4. On utilise la propriété des probabilités totales.
      $p\left( \bar{S} \right) = p \left( A \cap \bar{S} \right) + p \left( B \cap \bar{S} \right)$ $=0,8\times 0,9 + 0,16 $ $=0,88$
  2. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.
    Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
  3. On cherche $p_S(B) = \dfrac{p(B \cap S)}{p(S)} = \dfrac{0,2 \times 0,2}{1 – 0,88}$ $= \dfrac{1}{3}$ $\approx 0,33$


Partie B
Le gérant d'un salon de thé achète $10$ boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$ boîtes avec remise. On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$ boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
  2. On répète $\1$  fois, de façon indépendante, l’expérience «\2 » qui comporte 2 issues :

    • « \3 » considéré comme succès, de probabilité $p=\4$
    • « \5 » considéré comme échec, de probabilité $q=1-p=\6$

    Nous sommes donc en présence d’un schéma de Bernoulli et la variable aléatoire $\7$ prenant pour valeurs le nombre de succès obtenus suit la loi binomiale de paramètres $\1$  et $\4$ notée $\mathscr{B}(\1;\4)$ .

    Pour tout entier $k$ où $0\leq k\leq \1$, on a $$P(\7=k)=\binom{\1}{k}\times \left(\4\right)^k\times\left( \6\right)^{\1-k}$$

  3. Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
  4. 2ND DISTR 0binomFdP( \1 , \2,\3)EXE
    Avec une calculatrice de type TI $binomFdP(\1,\2,\3) \approx \4$

    $$P( \5 = \3)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
  5. Calculer la probabilité qu'au moins $8$ boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.

Partie C
À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: «88 % de notre thé est garanti sans trace de pesticides ».
Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève $50$ boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.
On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$. On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$ boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

  1. Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de 95 %.
  2. La proportion $p$ est égale à  $\1$. La taille  $n$  de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
    Comme  $ n =\2$ ,   $n \times p  $=\3  et $n\times (1-p)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.

    En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times p \geq 5 \text{ et } n\times (1-p) \geq 5$$


    L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de  $95\% $  est : $$I_{\2} = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1\times \5}{\2}} \right]$$ 

    $$I_{50}= [0,78;0,98]$$
  3. L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mensongère ?
  4. La fréquence observée du nombres de boîtes ne contenant pas de pesticides est $f = \frac{50 – 12}{50} = 0,76$.
    $~$
    Mais $f \notin I_{50}$ et $f < 0,78$. L’échantillon n’est pa représentatif de ce qu’annonce le grossiste.
    $~$
    L’inspecteur de la brigade de répression peut décider que la publicité est mensongère.

 

Exercice 2      6 points


Commun à tous les candidats


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
\[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et}\quad g(x) = 1 - \text{e}^{- x}.\] Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.
On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

    1. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
    2. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B.
    3. En déduire que $b = - a$.
  1. Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation \[2( x - 1)\text{e}^x + 1 = 0.\]

Partie C
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[\varphi(x) = 2(x -1)\text{e}^x + 1.\]

    1. Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
    2. Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
    3. Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
    1. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.
    2. On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation. À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.


Partie D
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

  1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E.
  2. Démontrer que (EF) est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point F.

Annexe Exercice 2 à rendre avec la copie

 


 

Exercice 2 6 points


Commun à tous les candidats


On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :
\[f(x) = \text{e}^x \quad \text{et}\quad g(x) = 1 - \text{e}^{- x}.\] Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, sont fournies en annexe.
Partie A
Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.
Partie B

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.
On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

    1. Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
    2. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est égal à $f'(a)$.
      Or $f'(x) = \text{e}^{x}$,
      donc $f'(a) = \text{e}^{a}$.
    3. Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B.
    4. De même le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B est égal à $g'(b)$.
      Or $g'(x) = - \left(- \text{e}^{-x}\right)=\text{e}^{-x}$,
      donc $g'(b) = \text{e}^{- b}$.
    5. En déduire que $b = - a$.
    6. Si les deux tangentes sont égales le coefficient directeur de leurs équations réduites sont égaux, soit : $f'(a) = g'(b) \iff \text{e}^{a} = \text{e}^{- b}$ et appliquant la fonction logarithme népérien : $a = - b \iff b = - a$.
  1. Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation \[2( x - 1)\text{e}^x + 1 = 0.\]
  2. Une équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est égale à :
    $$y - \text{e}^a = \text{e}^{a}(x - a) \iff y = x\text{e}^{a} + \text{e}^a(1 - a)$$ Une équation réduite de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B est égale à : $$y - \left(1 - \text{e}^{- b}\right) = \text{e}^{- b}(x - b) \iff y = x\text{e}^{ - b} + 1 - \text{e}^{- b} - b\text{e}^{- b}$$
    Ou en remplaçant $- b$ par $a$ : $$y = x\text{e}^{a} + 1 - \text{e}^{a} + a\text{e}^{a} \iff y = x\text{e}^{a} + 1 + \text{e}^{a}(a - 1)$$ Si les deux tangentes sont égales, leurs équations réduites sont les mêmes. On a déjà vu l'égalité des coefficients directeurs.
    Les ordonnées à l'origine sont aussi les mêmes soit : $\text{e}^a(1 - a) = 1 + \text{e}^{a}(a - 1) \iff \text{e}^a(2 - 2a) = 1 \iff 2(a - 1)\text{e}^a + 1 = 0$.
    Donc $a$ est solution de l'équation dans $\mathbb R$ : $$2( x -1)\text{e}^x + 1 = 0.$$

Partie C
On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\mathbb{R}$ par
\[\varphi(x) = 2(x -1)\text{e}^x + 1.\]

    1. Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
    2. Sur $\mathbb R$, : $\varphi(x) = 2x\text{e}^x - 2\text{e}^x + 1$.
      On sait que $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^x = 0$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x\text{e}^x = 0$, d'où par somme de limite : $\displaystyle\lim_{x to - \infty} \varphi(x) = 1$.
      La droite d'équation $y = 1$ est asymptote horizontale à la courbe représentative de $\varphi$.
      On a $\displaystyle\lim_{x to + \infty} (x - 1) = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^x = + \infty$, d'où par somme de limites : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \varphi(x) = + \infty$.
    3. Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
    4. Somme de fonctions dérivable sur $\mathbb R$, $\varphi$ est dérivable sur $\mathbb R$ et : $\varphi'(x) = 2\text{e}^x + 2(x - 1)\text{e}^x = 2x\text{e}^x$.
      Comme, quel que soit $x \in \mathbb R$; \: $\text{e}^x > 0$, le signe de $\varphi'(x)$ est celui de $x$. Donc sur $]- \infty~;~0[, \, \varphi'(x) < 0$ : la fonction est décroissante sur cet intervalle et sur $]0~;~+ \infty[$, :$\varphi'(x) > 0$ : la fonction $\varphi$ est croissante sur cet intervalle.
      D'où le tableau de variations :
    5. Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\mathbb{R}$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
    6. $$\varphi(0)=-2e^0 + 1 = -1$$
    1. Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb{R}$.
      • En appliquant le théorème de la bijection sur $]-\infty;0[$ :
        D'après le théorème de la bijection :
        • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right]$.
        • $\1$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right]$.
        • $\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4$ et $\1 \left(\3\right)=\5$
        $\1$ réalise donc une bijection de $\left]\2 ; \3\right]$ sur $\left[\5;\4\right[$
        $\6\in \left[\5;\4\right[$,
        donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left]\2 ; \3\right]$ .
        $\varphi(-1,68)\approx 0,001$ et $\varphi(-1,67)\approx -0,005$ Ainsi $\varphi(-1,67) <\varphi(\beta)<\varphi(-1,68)$, comme $\varphi$ est strictement décroissante sur $]-\infty;0]$; on déduit : $-1,68\leqslant\beta\leqslant-1,67$
        $ \beta\approx -1,67$
        Détaillons la démarche !
        La calculatrice donne successivement :
        $\varphi(- 2) \approx 0,18$ et $\varphi(- 1) \approx -0,47$, donc $- 2 < \beta < - 1$ ;
        $\varphi(- 1,7) \approx 0,013$ et $\varphi(- 1,6) \approx -0,05$, donc $- 1,7 < \beta < - 1,6$ ;
        $\varphi(- 1,68) \approx 0,001$ et $\varphi(- 1,67) \approx -0,005$, donc $- 1,68 < \beta < - 1,67$ ;
        Conclusion au centième près $\alpha \approx - 1,68$.
      • En appliquant le théorème de la bijection sur $[0;+\infty[$ :
        D'après le théorème de la bijection :
        • $\1 $ est une fonction dérivable (donc continue) sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right]$.
        • $\1$ est strictement décroissante sur l' intervalle $I = \left]\2 ; \3\right]$.
        • $\lim\limits_{x \to \2}~\1(x)=\4$ et $\1 \left(\3\right)=\5$
        $\1$ réalise donc une bijection de $\left]\2 ; \3\right]$ sur $\left[\5;\4\right[$
        $\6\in \left[\5;\4\right[$,
        donc l'équation $\1(x) = \6 $ a une racine unique $\7$ dans $\left]\2 ; \3\right]$ .

        $\varphi(0,76)\approx -0,03$ et $\varphi(0,77)\approx 0,006$\\ Ainsi $\varphi(0,76)<\varphi(\alpha)<\varphi(0,77)$, comme $\varphi$ est strictement croissante sur $[0;+\infty[$; on déduit : $0,76\leqslant\alpha\leqslant0,77$
        $\alpha\approx 0,77$
    2. On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation. À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.


Partie D
Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B. On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

  1. Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E.
  2. Démontrons que le coefficient directeur de la droite (EF) est $e^{\alpha}$:
    On sait que E appartient à la droite (EF) et à la courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$. E$\left(\alpha~;~\text{e}^{\alpha}\right)$ et F$\left(- \alpha~;~1 - \text{e}^{\alpha}\right)$.
    Le coefficient directeur de $(EF)$ est $$m_{(EF)}=\dfrac{y_F-y_E}{x_F-x_E}=\dfrac{1-e^{\alpha}-e^{\alpha}}{-\alpha-\alpha}=\dfrac{1-2e^{\alpha}}{-2\alpha}$$ On procède alors par équivalence.
    $$\begin{array}{ll} m_{(EF)}=\text{e}^{\alpha}&\iff \dfrac{1-2e^{\alpha}}{-2\alpha}=\text{e}^{\alpha}\\ &\iff 1-2e^{\alpha} =-2\alpha\text{e}^{\alpha}\\ &\iff 2\alpha\text{e}^{\alpha} -2e^{\alpha} +1=0\\ &\iff 2(\alpha-1)\text{e}^{\alpha} +1=0\\ &\iff \varphi(\alpha)=0\end{array}$$ Or l'égalité $ \varphi(\alpha)=0$ est vraie et donc
    le coefficient directeur de la droite (EF) est $e^{\alpha}$
    F appartient à cette tangente si et seulement si : $1 - \text{e}^{\alpha} - \text{e}^{\alpha} = \text{e}^{\alpha}(- \alpha - \alpha) \iff 1 - 2\text{e}^{-\alpha} = - 2\text{e}^{\alpha} \iff 2(\alpha - 1)\text{e}^{\alpha} + 1 = 0$ ce qui a été démontré à la question 2. b. de la partie C.
    Conclusion : la droite (EF) est bien la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $\alpha$.
  3. Démontrer que (EF) est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point F.
  4. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $- \alpha$ est $\text{e}^{- (- \alpha)} = \text{e}^{\alpha}.$ On a vu dans la question précédente que la droite (EF) a pour coefficient directeur $\text{e}^{\alpha}$ et contient le point F.
    Conclusion la droite (EF) est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse $- \alpha$.

 


Exercice 3 4 points 


Commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
\[a = 2 + 2\text{i},\quad b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\]

  1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
  2.  Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
  3. Dans cette question, l'espace est muni d'un repère $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).
    Affirmation 3 : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 - t \\ y &=& 6 - 2 t\\ z &=&-2 + t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$, coupe le plan (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2} ; 1 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
  4. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].
  5. Affirmation 4 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.

Exercice 3 4 points 


Commun à tous les candidats

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct $\left(\text{O},\vec{u},\vec{v}\right)$.
On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :
\[a = 2 + 2\text{i},\quad b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\]

  1. Affirmation 1 : les points A, B et C sont alignés.
  2. $b-a=-\sqrt{3}+\text{i}-2-2\text{i}$ $=-2-\sqrt{3}-\text{i}$
    $c-a=1+\text{i}\sqrt{3}-2-2\text{i}$ $=-1+\left(-2+\sqrt{3} \right)\text{i}$
    Mais $\left(2+\sqrt{3}\right)(c-a) = -2-\sqrt{3} + \left(2+\sqrt{3}\right) \left(-2+\sqrt{3}\right)\text{i}$ $=-2\sqrt{3}-\text{i}=b-a$
    Donc :
    $$\dfrac{b-a}{c-a} = 2+\sqrt{3} \in \mathbb R$$
    Les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
    Affirmation vraie
  3.  Affirmation 2 : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
  4. $|e-b|=\sqrt{8}$ $\quad |e-c|=\sqrt{8}$ $\quad |e-d| = 2+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
    Affirmation fausse
  5. Dans cette question, l'espace est muni d'un repère $\left(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right)$. On considère les points I(1 ; 0 ; 0), J(0 ; 1 ; 0) et K(0 ; 0 ; 1).
    Affirmation 3 : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l} x &=& 2 - t \\ y &=& 6 - 2 t\\ z &=&-2 + t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$, coupe le plan (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2} ; 1 ; \dfrac{1}{2} \right)$.
  6. Une équation cartésienne de $(IJK)$ est de la forme $ax+by+cz+d=0$
    $I \in (IJK)$ donc $a+d=0$. On obtient de même $b+d=0$ et $c+d=0$.
    Soit $a=b=c=-d$. Prenons $d=-1$.
    Une équation de $(IJK)$ est donc
    $$x+y+z-1=0$$
    Regardons si $E$ appartient à ce plan : $\dfrac{-1}{2}+1+\dfrac{1}{2}-1 = 0$. C’est effectivement le cas.
    De plus $E \in \mathcal{D}$ (il suffit de prendre $t=\frac{5}{2}$).
    Affirmation vraie
  7. Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

    Affirmation 4 : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.
  8. (EFGH) est un carré donc le milieu T de [HF] est le milieu de [EG]. On a donc $\vec{ET} =\dfrac{1}{2}\vec{EG}$
    En prenant par exemple le repère $(A, \vec{AB}; \vec{AD};\vec{AE})$ calculons le produit scalaire : $\vec{AT}.\vec{EC}$ $ = \left(\vec{AE}+\dfrac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AD} \right) \right).\left(-\vec{AE}+\vec{AB}+\vec{AC} \right)$
    $\vec{AT}.\vec{EC}$ $=-AE^2+\dfrac{1}{2}AB^2+\dfrac{1}{2}AD^2 = 0$
    Affirmation vraie

 


 

Exercice 4  5 points


Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
    2. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.


Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c |c|}\hline \text{Entrée }& \text{Soit un entier naturel non nul } n\\ \hline \text{Initialisation} &\text{Affecter à } u \text{la valeur 2}\\ \hline \text{Traitement et sortie } &\text{POUR } i \text{ allant de 1 à } n\\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher } u\\ \hline & \text{FIN POUR }\\ \hline \end{array}$$ Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline i&1&2& 3\\ \hline u&&&\\ \hline \end{array}$$
  2. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
    u&1,0083 &0,9973 &1,0009 &0,9997 &1,0001 &0,99997 &1,00001 &0,999996 &1,000001 \\ \hline
    \end{array}$$

    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.

  3. On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
    2. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
    2. montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
    3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

 

Exercice 4  5 points


Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$.
  2. Initialisation : $u_0 = 2>1$. La propriété est vraie au rang $0$.
    Hérédité :
    • Méthode 1 :
      Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n > 1$
      Alors
      $$u_{n+1} = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n}=\dfrac{3+u_n+2u_n-2}{3+u_n}$$
      $$u_{n+1}=1+\dfrac{2u_n-2}{3+u_n}$$
      D’après l’hypothèse de récurrence : $2u_n-2 > 0$. On a de plus $3+u_n > 0$. Donc $u_{n+1} > 1$.
      La propriété est vraie au rang $n+1$.
    • Méthode 2 :
      On étudie le sens de variation de $f: x\mapsto \dfrac{1 + 3x}{3 + x} $
      Pour tout réel $x \in ]-3;+\infty[$; on a $f'(x)= \dfrac{3(3+x)-3(1+3x)}{(3 + x)^2}= \dfrac{6}{(3 + x)^2} $
      On a clairement $6>0$ et $(3+x)^2>0$; ainsi $f'(x)>0$ sur $]-3;+\infty[$.
      On a ainsi prouvé que $f$ est strictementv croissante sur $]-3;+\infty[$
      D'après l'hypothèse de récurrence, on a: $$u_n>1$$ Comme $f$ est strictement croissante sur $]-3;+\infty[$ on déduit : $$f(u_n)>f(1)$$ soit : $$u_{n+1}>1$$

    Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle est encore vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel, $u_n > 1$.
    $~$
    Remarque : ne surtout pas faire la division des $2$ inégalités obtenues pour le numérateur et le dénominateur car le passage à l'inverse change le sens des inégalités !
    1. Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
    2. $u_{n+1} – u_n = \dfrac{1+3u_n}{3+u_n} – u_n $ $=\dfrac{1 + 3u_n -3u_n-u_n^2}{3+u_n}$ $=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}$
    3. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.
      En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge.
    4. D’après la question $1.$ on sait que $1-u_n < 0$. De plus $1+u_n > 0$ et $3+u_n > 0$
      Donc $u_{n+1}-u_n < 0$.
      La suite $(u_n)$ est donc décroissante.
      La suite est décroissante et minorée par $1$. Elle converge donc.


Partie B

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :
\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\] On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

  1. On considère l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|c |c|}\hline \text{Entrée }& \text{Soit un entier naturel non nul } n\\ \hline \text{Initialisation} &\text{Affecter à } u \text{la valeur 2}\\ \hline \text{Traitement et sortie } &\text{POUR } i \text{ allant de 1 à } n\\ &\hspace{1cm}\text{ Affecter à } u \text{ la valeur } \dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}\\ &\hspace{1cm} \text{Afficher } u\\ \hline & \text{FIN POUR }\\ \hline \end{array}$$ Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline i&1&2& 3\\ \hline u&&&\\ \hline \end{array}$$
  2. i $1$ $2$ $3$
    u $0,800$ $1,077$ $0,976$
  3. Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
    $$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
    i&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
    u&1,0083 &0,9973 &1,0009 &0,9997 &1,0001 &0,99997 &1,00001 &0,999996 &1,000001 \\ \hline
    \end{array}$$

    Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini.

  4. Il semblerait que la suite $(u_n)$ « oscille » autour de $1$ tout en tendant vers $1$.
    On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
    1. Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
    2. $$\begin{array}{ll}v_{n+1}&= \dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}+1}\\ &=\dfrac{ \dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n}-1}{1+\dfrac{1+0,5u_n}{0,5+u_n} }\\&=\dfrac{\dfrac{1+0,5u_n-0,5-u_n}{0,5+u_n} }{\dfrac{0,5+u_n+1+0,5u_n}{0,5+u_n}}\\ &=\dfrac{0,5-0,5u_n}{1,5+1,5u_n}\dfrac{-0,5}{1,5} \times \dfrac{u_n-1}{1+u_n}\\ &=\dfrac{-1}{3}v_n \end{array}$$ $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison $\dfrac{-1}{3}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{3}$
      $~$
    3. Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
    4. Comme $(v_n)$ est géométrique, on a $v_n=q^nv_0$
      Donc $v_n=\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{-1}{3} \right)^n$
    1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
    2. Pour tout entier naturel $n$ on a : $\left(\dfrac{-1}{3} \right)^n \le 1$ donc $v_n \le \dfrac{1}{3}$ et $v_n \ne 1$
      $~$
    3. montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
    4. >$$\begin{array}{ll} v_n = \dfrac{u_n-1}{1+u_n}&\iff (1+u_n)v_n = u_n – 1\\ &\iff v_n+1=u_n-u_n \times v_n\\ &\iff u_n = \dfrac{1+v_n}{1-v_n} \end{array}$$
    5. Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
    6. $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0$ car $-1 < \dfrac{-1}{3} < 1$.
      Par conséquent :
      $$ \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_n = 1$$

 


 

Exercice 4 5 points : Spécialité


Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE$'$F$'$G$'$, appelé image de OEFG.


L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},  \vec{i}, \vec{j}\right)$.

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), $(-1 ; 5)$ et $(-3 ; 3)$.

La transformation du logiciel associe à tout point $M(x ; y)$ du plan le point $M'(x' ; y')$, image du point $M$ tel que:
\[\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\ y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{array}\right.\]

    1. Calculer les coordonnées des points E$'$, F$'$ et G$'$, images des points E, F et G par cette transformation.
    2. Comparer les longueurs OE et OE$'$ d'une part, OG et OG$'$ d'autre part. Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

  1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
    $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Entrée } &\text{ Saisir un entier naturel non nul } N\\ \hline \text{Initialisation }& \text{Affecter à x la valeur } - 1\\ &\text{ Affecter à }y \text{ la valeur 5 }\\ \hline \text{Traitement}&\text{ POUR } i \text{ allant de 1 à } N\\ &\text{Affecter à } a \text{ la valeur } \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y\\ &\text{Affecter à } b \text{ la valeur } \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } a\\ &\text{Affecter à } y \text{ la valeur } b\\ &\text{FIN POUR}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } x, \text{ afficher }y\\ \hline \end{array}$$

  2. On a obtenu le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline x &2,5 &7,25 &15,625 &31,8125 &63,9063 &2047,9971 &65535,9999 \\ \hline y &5,5 &8,75 &16,375 &32,1875 &64,0938 &2048,0029 &65536,0001 \\ \hline \end{array}$$ Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.


Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]
où $\left(x_{n+1} ; y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.
Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

  1. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, la matrice $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d'équation $y = x$. On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient :
      \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]
    2. Démontrer que la longueur O$E_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.

 

Exercice 4 5 points


Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE$'$F$'$G$'$, appelé image de OEFG.


L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé $\left(\text{O},  \vec{i}, \vec{j}\right)$.

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), $(-1 ; 5)$ et $(-3 ; 3)$.

La transformation du logiciel associe à tout point $M(x ; y)$ du plan le point $M'(x' ; y')$, image du point $M$ tel que:
\[\left\{\begin{array}{l c l} x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\ y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y \end{array}\right.\]

    1. Calculer les coordonnées des points E$'$, F$'$ et G$'$, images des points E, F et G par cette transformation.
    2. Pour $E’$ : $\begin{cases} x’=\dfrac{5}{4} \times 2 + \dfrac{3}{4} \times 2 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times 2 + \dfrac{5}{4} \times 2 \end{cases}$ $ \Leftrightarrow \begin{cases} x’=4 \\\\y’=4 \end{cases}$
      Pour $F’$ : $\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-1) + \dfrac{3}{4} \times 5 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-1) + \dfrac{5}{4} \times 5 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x’=2,5 \\\\y’=5,5 \end{cases}$
      Pour $G’$ : $\begin{cases} x’ = \dfrac{5}{4} \times (-3) + \dfrac{3}{4} \times 3 \\\\y’ = \dfrac{3}{4} \times (-3) + \dfrac{5}{4} \times 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \begin{cases} x’=-1,5 \\\\y’=1,5 \end{cases}$
      $~$
    3. Comparer les longueurs OE et OE$'$ d'une part, OG et OG$'$ d'autre part. Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.
    4. $OE = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8}$ $\quad OE’ = \sqrt{4^2+4^2} = \sqrt{32}$. Donc $OE’ = 2OE$
      $OG = \sqrt{(-3)^2+3^2} = \sqrt{18}$ $\quad OG’ = \sqrt{(-1,5)^2+1,5^2} = \sqrt{4,5}$. Donc $OG = 2OG’$
      On a donc : $A = \begin{pmatrix} \dfrac{5}{4}&\dfrac{3}{4} \\\\ \dfrac{3}{4}&\dfrac{5}{4} \end{pmatrix}$

Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

  1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives. Une erreur a été commise. Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
    $$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{Entrée } &\text{ Saisir un entier naturel non nul } N\\ \hline \text{Initialisation }& \text{Affecter à x la valeur } - 1\\ &\text{ Affecter à }y \text{ la valeur 5 }\\ \hline \text{Traitement}&\text{ POUR } i \text{ allant de 1 à } N\\ &\text{Affecter à } a \text{ la valeur } \frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y\\ &\text{Affecter à } b \text{ la valeur } \frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y\\ &\text{Affecter à } x \text{ la valeur } a\\ &\text{Affecter à } y \text{ la valeur } b\\ &\text{FIN POUR}\\ \hline \text{Sortie} &\text{Afficher } x, \text{ afficher }y\\ \hline \end{array}$$

  2. On veut afficher les images successives. Pour cela, il faut intégrer dans la boucle « Pour », l’affiche de $x$ et de $y$.
    $\ldots$
    Affecter à $x$ la valeur $a$
    Affecter à $y$ la valeur $b$
    Afficher $x$
    Afficher $y$
    FIN POUR
    $~$
  3. On a obtenu le tableau suivant :
    $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline x &2,5 &7,25 &15,625 &31,8125 &63,9063 &2047,9971 &65535,9999 \\ \hline y &5,5 &8,75 &16,375 &32,1875 &64,0938 &2048,0029 &65536,0001 \\ \hline \end{array}$$ Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.
  4. La suite constituée des abscisses des points semble être croissante et aurait pour limite $+\infty$.
    Il en est de même pour les ordonnées.


Partie C

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :
\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]
où $\left(x_{n+1} ; y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.
Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

  1. On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, la matrice $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.
    Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : \[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]
  2. Initialisation : Pour $n=1$ : $2^0+\dfrac{1}{2^2} = \dfrac{5}{4}$ et $2^0 – \dfrac{1}{2^2} = \dfrac{3}{4}$
    La propriété est donc vraie au rang $1$.
    initialisation : Supposons la propriété vraie au rang $n$.
    $A^{n+1} = A \times A^n$
    Alors $\alpha_{n+1} = \dfrac{5}{4}\alpha_n+\dfrac{3}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{5}{4} – \dfrac{3}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}$ $=2\times 2^{n-1} + \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} $ $=2^n + \dfrac{1}{2^{n+2}}$.
    $\beta_{n+1} = \dfrac{3}{4}\alpha_n+\dfrac{5}{4}\beta_n = \left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{3}{4} \right)2^{n-1} + \left(\dfrac{3}{4} – \dfrac{5}{4} \right) \times \dfrac{1}{2^{n+1}}$ $=2\times 2^{n-1} – \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2^{n+1}} $ $=2^n – \dfrac{1}{2^{n+2}}$.
    La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
    Conclusion : La propriété est vraie au rang $1$.
    En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
    Donc pour tout entier naturel $n \ge 1$ on a : $\alpha_n = 2^{n-1}+\dfrac{1}{2^{n+1}}$ et $\beta_n = 2^{n-1} – \dfrac{1}{2^{n+1}}$.
    $~$
    1. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d'équation $y = x$. On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n} ; y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient :
      \[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]
    2. On a $\begin{pmatrix}x_n \\\\y_n \end{pmatrix} =A^n \begin{pmatrix} 2\\\\2 \end{pmatrix}$.
      Donc $x_n = 2\alpha_n + 2\beta_n$ et $y_n=2\beta_n+2\alpha_n$ donc $x_n=y_n$.
      $~$
    3. Démontrer que la longueur O$E_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
    4. $OE_n = \sqrt{x_n^2+y_n^2}$. Or $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} 2^n = +\infty$ et $\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \dfrac{1}{2^{n+1}} = 0$.
      Donc $$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \alpha_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} \beta_n = +\infty$$
      Par conséquent $$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} x_n = \lim\limits_{n \rightarrow + \infty} y_n = +\infty$$
      Finalement :$$\lim\limits_{n \rightarrow + \infty} OE_n = +\infty$$

 

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