Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Spécialité

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Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On note $\mathbb Z$ l’ensemble des entiers relatifs.
Dans cet exercice, on étudie l’ensemble $S$ des matrices $A$ qui s’écrivent sous la forme $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $ , où $a, b, c$ et $d$ appartiennent à l’ensemble $\mathbb Z$ et vérifient : $ad -bc = 1$.
On note $I$ la matrice identité $I=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Partie A : Quelques exemples de matrices appartenant à l’ensemble $S$

1. Vérifier que la matrice $A= \begin{pmatrix} 6& 5\\ -5 & -4 \\ \end{pmatrix}$ appartient à l'ensemble $S$.
2. Montrer qu'i existe exactement quatre matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& 2\\ 3 & d \\ \end{pmatrix}$ appartenant à $S$ ; les expliciter.
3. 1. Résoudre dans $\mathbb Z$ l'équation $(E): 5x-2y=1$. On pourra remarquer que le couple $(2;1)$ est une solution particulière de cette équation.
   2. En déduire qu'il existe une infinité de matrices de la forme $A=\begin{pmatrix} a& b\\ 2 & 5 \\ \end{pmatrix}$ qui appartiennent à l'ensemble $S$. Décrire ces matrices.

Partie B : Quelques propriétés des matrices appartenant à l’ensemble $S$

 

Dans cette partie, on note $A = \begin{pmatrix} a& b\\ c &d \\ \end{pmatrix} $une matrice appartenant à l'ensemble $S$. On rappelle que $a, b, c$ et $d$ sont des entiers relatifs tels que $ad -bc = 1$.

1. Montrer que les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
2. Soit $B$ la matrice $B = \begin{pmatrix} d&- b\\- c &a \\ \end{pmatrix} $
   1. Calculer le produit $AB$. On admet que l'on a $AB=BA$.
   2. En déduire que la matrice $A$ est inversible et donner sa matrice inverse $A^{-1}$.
   3. Montrer que la matrice $A^{-1}$ appartient à l’ensemble $S$.
3. Soient $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On note $x'$ et $y'$ les entiers relatifs tels que $ \begin{pmatrix} x'\\y' \\ \end{pmatrix} =A\begin{pmatrix} x \\y \\ \end{pmatrix}$
   1. Montrer que $x = dx' - by'$. On admet de même que $y = ay'- ex'$.
   2. On note $D$ le $PGCD$ de $x$ et $y$ et on note $D'$ le $PGCD$ de $x'$ et $y'$. Montrer que $D = D'$.
4. On considère les suites d’entiers naturels $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par : $x_0 = 2019, y_0 = 673$ et pour tout entier naturel $n$ : $\begin{cases} x_{n+1}=2x_n+3y_n\\ y_{n+1}= x_n+2y_n \end{cases} $
   En utilisant la question précédente, déterminer, pour tout entier naturel $n$, le $PGCD$ des entiers $x_n$ et $y_n$.