Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Correction Exercice 2

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Exercice 2 5 points

Commun à tous les candidats

Probabilités

Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.

Partie A

Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle [9; 25].
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.

1. 1. Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
   La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle $[9;25]$ donc $E\left(X_A\right)=\dfrac{9+25}{2}=17$.
   
   
   Une partie de type $A$ dure donc en moyenne $17$ minutes.
   
   
   $\quad$
   1. Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
L’axe de symétrie de la représentation graphique de la fonction de densité semble avoir pour équation $x=17$.

 

Une partie de type $B$ dure donc en moyenne $17$ minutes également.

 

$\quad$
1. On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
On a $P\left(X_A\leq 20\right)=\dfrac{20-9}{25-9}=0,687~5$.

 

et

 

$\begin{align*} P\left(X_B\leq 20\right)&=P\left(X_B\leq 17\right)+P\left(17\leq X_B\leq 20\right) \\

 

&=0,5+P\left(17\leq X_B\leq 20\right) \\

 

&\approx 0,841~3\end{align*}$

 

On choisit de manière équiprobable un type de jeu.

 

2ND DISTR 2NORMALFRép( -10^(99) , \1,$\2$,$\3$)EXE
Avec une calculatrice de type TI

$$NormalFR\text{é}p(-10^{99},\1,\2,\3) \approx \4$$

$$P( \5 \leq \1)\approx \4 \text{ à } 10^{-\6} \text{ près.}$$
La probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à $20$ minutes est donc :

 

$\begin{align*} p&=\dfrac{1}{2}\left(P\left(X_A\leq 20\right)+P\left(X_B\leq 20\right) \right) \\

 

&\approx 0,76\end{align*}$

 

$\quad$

Partie B

On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :

• si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
• si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :

• $A_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $A$. »
• $B_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $B$. »

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.

1. 1. Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.
      
   
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n> 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n=0,3.$$
   Pour tout entier naturel $n\geq 1$, d’après la formule des probabilités totales on a :
   
   
   $\begin{align*} a_{n+1}&=P\left(A_{n+1}\right) \\
   
   
   &=P\left(A_n\cap A_{n+1}\right)+P\left(B_n\cap A_{n+1}\right) \\
   
   
   &=0,8a_n+0,3\left(1-a_n\right) \\
   
   
   &=0,5a_n+0,3\end{align*}$
   
   
   $\quad$
Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].

 

La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par : $a_1 = a$, et pour tout entier naturel $n > 1, a_{n+1} = 0,5a_n + 0,3$.
1. Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
   1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n > 1$, on a : $0 < a_n < 0,6$.
   Initialisation :
   si $n=1$ alors $a_1=0,5 \in[0;0,6]$.
   
   
   La propriété est vraie au rang $1$.
   
   
   $\quad$.
   
   Hérédité :
   On suppose la propriété vraie au rang $n$. Donc $0\leq a_n\leq 0,6$.
   
   
   Montrons qu’elle est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $0\leq a_{n+1}\leq 0,6$.
   
   
   $\begin{align*} 0\leq a_n\leq 0,6&\iff 0\leq 0,5a_n\leq 0,3\\
   
   
   &\iff 0,3\leq 0,5a_n+0,3\leq 0,6\\
   
   
   &\iff 0,3\leq a_{n+1}\leq 0,6\end{align*}$
   
   
   Par conséquent $0\leq a_{n+1}\leq 0,6$.
   
   
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   
   
   $\quad$
   
   Conclusion :
   La propriété est vraie au rang $1$ et est héréditaire.
   
   
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a $0\leq a_n\leq 0,6$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
   Pour tout entier naturel $n \geq 1$ :
   
   
   $\begin{align*} a_{n+1}-a_n&=0,5a_n+0,3-a_n \\
   
   
   &=0,3-0,5a_n \\
   
   
   &\geq 0,3-0,5\times 0,6\\
   
   
   &\geq 0\end{align*}$
   
   
   La suite $\left(a_n\right)$ est donc croissante.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
   La suite $\left(a_n\right)$ est croissante et majorée; elle converge donc vers un réel $\ell$.
   
   
   Le réel $\ell$ est solution de l’équation :
   
   
   $\ell=0,5\ell+0,3 \iff 0,5\ell=0,3\iff \ell =0,6$.
   
   
   La suite $\left(a_n\right)$ converge donc vers $0,6$.
   
   
   $\quad$
2. Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle [0; 1].
   On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par : $u_n = a_n - 0,6$.
   1. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
   Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $u_n=a_n-0,6 \iff a_n=u_n+0,6$.
   
   
   $\begin{align*} u_{n+1}&=a_{n+1}-0,6\\
   
   
   &=0,5a_n+0,3-0,6\\
   
   
   &=0,5a_n-0,3\\
   
   
   &=0,5\left(u_n+0,6\right)-0,3\\
   
   
   &=0,5u_n+0,3-0,3\\
   
   
   &=0,5u_n\end{align*}$
   
   
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison $0,5$ et de premier terme $u_0=a_0-0,6=a-0,6$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire que pour tout entier naturel $n \geq 1$ on a : $a_n = (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$ .
   Ainsi, pour tout entier naturel $n\geq 1$ on a $u_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}$.
   
   
   Donc $a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
   $-1<0,5<1$ donc $\lim\limits_{n\to +\infty} 0,5^{n-1}=0$ et $\lim\limits_{n\to +\infty} a_n=0,6$.
   
   
   Cette limite ne dépend donc pas de $a$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
   Sur le long terme, la probabilité que le joueur fasse une partie de type A est égale à $0,6$ et celle qu’il fasse une partie de type B est égale à $0,4$.
   
   
   Il verra donc plus souvent la publicité insérée au début des parties de type A.
   
   
   $\quad$