Baccalauréat S Antilles-Guyane 18 juin 2013 - Correction de l'Exercice 4

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Exercice 4 5 points

Commun n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

On considère la suite $\left(z_n\right)$ à termes complexes définie par $z_0 = 1 + \text{i}$ et, pour tout entier naturel $n$, par
\[z_{n+1} = \dfrac{z_n + \left|z_n\right|}{3}.\]
Pour tout entier naturel $n$, on pose: $z_n = a_n + \text{i}b_n$, où $a_n$ est la partie réelle de $z_n$ et $b_n$ est la partie imaginaire de $z_n$.
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$.

Partie A

1. Donner $a_0$ et $b_0$.
On a $a_0=1$ et $b_0=1$.
2. Calculer $z_1$, puis en déduire que $a_1=\dfrac{1 + \sqrt{2}}{3}$ et $b_1 = \dfrac13$.
Comme $ \left|z_0\right| = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$, on a $z_1=\dfrac{z_0+ \left|z_0\right|}{3}=\dfrac{1+i+\sqrt{2}}{3}=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}+\dfrac13i$. On a alors $a_1=\dfrac{1+\sqrt{2}}{3}$ et $b_1=\dfrac13$.
3. On considère l'algorithme suivant: $$ \begin{array}{|c|c|}\hline \text{Variables :}& A \text{ et } B \text{ sont des nombres réels}\\ & K \text{ et } N \text{ sont des nombres entiers}\\ \text{ Initialisation :}& \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } 1\\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } 1\\ \text{Traitement :}& \\ \text{Entrer la valeur de } N&
   \text{Pour } K \text{ variant de 1 à } N\\ & \text{ Affecter à } A \text{ la valeur } \dfrac{A+\sqrt{A^2+B^2}}{3} \\ & \text{ Affecter à } B \text{ la valeur } \dfrac{B}{3}\\ &\text{Fin du Pour}\\ & \text{ Afficher } A\\ \hline \end{array} $$
   1. On exécute cet algorithme en saisissant $N=2$. Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme (on arrondira les valeurs calculées à $10^{-4}$ près).
   $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline K & A & B\\\hline 1 & 0,8047 & 0,3333\\ \hline 2 & 0,5586 & 0,1111\\\hline \end{array}$$
   2. Pour un nombre $N$ donné, à quoi correspond la valeur affichée par l'algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
   Plus généralement, pour une valeur de $N$ saisie par l'utilisateur, l'algorithme affichera la valeur de $a_N$.

Partie B

1. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
   En déduire l'expression de $a_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$, et l'expression de $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
On a, pour tout $n\in\mathbb N$, $z_{n+1}= a_{n+1}+ \text{i}b_{n+1}$ et $z_{n+1}=\dfrac{a_n+ \text{i}b_n + \sqrt{a_n^2 + b_n^2}}{3}$, donc: \[ a_{n+1}=\dfrac{a_n+\sqrt{a_n^2+b_n^2}}{3} \text{ et }b_{n+1}=\dfrac{b_n}{3}. \]
2. Quelle est la nature de la suite $\left(b_n \right)$ ? En déduire l'expression de $b_n$ en fonction de $n$, et déterminer la limite de $\left(b_n \right)$.
La suite $(b_n)$ est géométrique de premier terme $b_0=1$ et de raison $\frac13$, par conséquent, pour tout $n\in\mathbb N$: $b_n = \left(\frac13\right)^n$. Comme $- 1 < \frac{1}{3} < 1 $, on en déduit que $(b_n)$ converge vers 0.
3. 1. On rappelle que pour tous nombres complexes $z$ et $z'$:
      \[\left|z + z'\right|\leqslant |z| + \left|z'\right|\qquad\text{(inégalité triangulaire)}.\]
      Montrer que pour tout entier naturel $n$,
      \[\left|z_{n+1}\right|\leqslant\dfrac{2\left|z_n\right|}{3}.\]
   $n\in\mathbb N$, $ \left|z_{n+1}\right|=\left|\dfrac{z_n+ \left|z_n\right|}{3} \right| =\frac{1}{3} \left|z_n+ \left|z_n\right|\right|\leqslant\frac{1}{3}\left( \left|z_n\right|+ \left|z_n \right|\right)$, c'est-à -dire: $ \left|z_{n+1}\right|\leqslant \dfrac{2 \left|z_n\right|}{3}$.
   2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n= \left|z_n\right|$. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
      \[u_n\leqslant \left(\frac23\right)^n\sqrt{2}.\]
      En déduire que la suite\index{suite} $\left(u_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
   Initialisation : $u_0 = \sqrt{2} \le 1 \times \sqrt{2}$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
   Alors $u_{n+1} = |z_{n+1}| \le \dfrac{2|z_n|}{3}$
   Par conséquent $u_{n+1} \le \dfrac{2}{3}u_n \le \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$.
   Donc $u_{n+1} \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^{n+1} \sqrt{2}$.
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   Conclusion : la propriété est vraie au rang $0$. En la supposant vraie au rang $n$, elle reste vraie au rang suivant.
   
   3. Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $\left|a_n\right|\leqslant u_n$. En déduire que la suite $\left(a_n \right)$ converge vers une limite que l'on déterminera.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $u_n \le \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2}$
   $-1 < \dfrac{2}{3} < 1$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \left(\dfrac{2}{3} \right) ^n \sqrt{2} = 0$
   $~$
   De plus on a : $0 \le u_n \le \left(\dfrac{2}{3}\right)^n \times \sqrt{2}$.
   D’après le théorème des gendarmes $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n = 0$.
   $\quad$