Baccalauréat S Amérique du Nord 29 mai 2018 - Correction Spécialité

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Correction de l'exercice de Spécialité 5 points

Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

Dans une région, on s'intéresse à la cohabitation de deux espèces animales : les campagnols et les renards, les renards étant les prédateurs des campagnols.
Au 1er juillet 2012, on estime qu'il y a dans cette région approximativement deux millions de campagnols et cent-vingt renards.
On note $u_n$ le nombre de campagnols et $v_n$ le nombre de renards au 1er juillet de l'année $2012+ n$.

Partie A - Un modèle simple

On modélise l'évolution des populations par les relations suivantes : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1}& =& 1,1u_n - 2000 v_n\\ v_{n+1} & =& 2 \times 10^{-5}u_n + 0,6v_n \end{array}\right. \quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec } \:u_0 = 2000000 \: \text{et} \: v_0 = 120.$$

1. 1. On considère la matrice colonne $U_n = \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$ pour tout entier $n \geqslant 0$. Déterminer la matrice $A$ telle que $U_{n+1} = A \times U_n$ pour tout entier $n$ et donner la matrice $U_0$.
   On a
   $\begin{pmatrix} u_{n+1}\\v_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}$
   Donc $A=\begin{pmatrix} 1,1&2~000\\2\times 10^-5&0,6\end{pmatrix}$.
   Et $U_0=\begin{pmatrix}2~000~000\\120\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   2. Calculer le nombre de campagnols et de renards estimés grâce à ce modèle au 1er juillet 2018.
   Au $1^\text{er}$ juillet 2018 on a $n=6$.
   Donc $U_6=A^6\times U_0 \approx \begin{pmatrix} 1~882~353\\96\end{pmatrix}$
   Il y aura donc environ $1~882~353$ campagnols et $96$ renards.
   $\quad$
2. Soit les matrices $P = \begin{pmatrix} 20000 & 5000 \\1&1\end{pmatrix} , \: D = \begin{pmatrix}1&0\\0&0,7\end{pmatrix}$ et $P^{- 1} = \dfrac{1}{ 15000} \begin{pmatrix}1& -5000 \\- 1& 20000 \end{pmatrix}$. On admet que $P^{- 1}$ est la matrice inverse de la matrice $P$ et que $A = P \times D \times P^{- 1}$.
   1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $U_n = P \times D^n \times P^{- 1} \times U_0$.
   Montrons ce résultat par récurrence.
   Initialisation : si $n=0$ alors $P\times D^n\times P^{-1}\times U_0=P\times I_2\times P^{-1}\times U_0=U_0$
   La propriété est vraie au rang $0$.
   $\quad$
   Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $n$ : $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   Montrons qu’elle est encore vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $U_{n+1}=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0$.
   $\begin{align*} U_{n+1}&=A\times U_n \\
   &=P\times D\times P^{-1} \times P\times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
   &=P\times D \times D^n\times P^{-1}\times U_0 \\
   &=P\times D^{n+1}\times P^{-1}\times U_0
   \end{align*}$
   La propriété est vraie au rang $n+1$.
   $\quad$
   Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
   Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $U_n=P\times D^n\times P^{-1}\times U_0$.
   $\quad$
   
   2. Donner sans justification l'expression de la matrice $D^n$ en fonction de $n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a $D_n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,7^n\end{pmatrix}$.
   $\quad$
   
   3. On admet que, pour tout entier naturel $n$ : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_n &=& \dfrac{2,8 \times 10^7 + 2 \times 10^6 \times 0,7^n}{15}\\ v_n &=&\dfrac{ 1400 + 400 \times 0,7^n}{15} \end{array}\right.$$ Décrire l'évolution des deux populations.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}+\dfrac{2\times 10^6}{15}\times 0,7^n$ et $v_n=\dfrac{1400}{15}+\dfrac{400}{15}\times 0,7^n$.
   Puisque $0<0,7<1$, cela signifie que la suite géométrique de raison $0,7$ est décroissante et que $\lim\limits_{n \to +\infty} 0,7^n=0$
   Par conséquent les suite $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ sont décroissantes.
   De plus $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\dfrac{2,8\times 10^7}{15}$ et $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=\dfrac{1400}{15}=\dfrac{280}{3}$
   $\quad$
   Le nombre de renards et de campagnols va donc décroître pour se stabiliser à environ $93$ individus pour les renards et environ $1~866~667$ pour les campagnols.
   $\quad$

Partie B - Un modèle plus conforme à la réalité

Dans la réalité, on observe que si le nombre de renards a suffisamment baissé, alors le nombre de campagnols augmente à nouveau, ce qui n'est pas le cas avec le modèle précédent. On construit donc un autre modèle, plus précis, qui tient compte de ce type d'observations à l'aide des relations suivantes : $$\left\{\begin{array}{l c r} u_{n+1} &=& 1,1u_n - 0,001 u_n \times v_n\\ v_{n+1} &=& 2 \times 10^{-7} u_n \times v_n + 0,6v_n \end{array}\right.\quad \text{pour tout entier }\:n \geqslant 0,\: \text{avec }\:u_0 = 2000000 \: \text{et }\: v_0 = 120.$$
Le tableau ci-dessous présente ce nouveau modèle sur les $25$ premières années en donnant les effectifs des populations arrondis à l'unité :

1. Quelles formules faut-il écrire dans les cellules B4 et C4 et recopier vers le bas pour remplir les colonnes B et C ?
En $B4$ on a pu écrire $=1,1\times B3-0,001\times B3\times C3$.
En $C4$ on a pu écrire $=2\times 10^{-7}\times B3\times C3+0,6\times C3$.

2. Avec le deuxième modèle, à partir de quelle année observe-t-on le phénomène décrit (baisse des renards et hausse des campagnols) ?
En utilisant le menu table de la calculatrice on constate qu’à partir de $n=104$ on observe le phénomène décrit, soit à partir de l’année 2116.
$\quad$

Partie C

On appelle $\begin{pmatrix} U&V\end{pmatrix}$ l’état stable
On veut donc résoudre le système
$\begin{align*} \begin{cases} U=1,1U\times -0,001U\times V\\V=2\times 10^{-7}U\times V+0,6V\end{cases}&\iff \begin{cases} 0,1U=0,001U\times V \\0,4V=2\times 10^{-7}U\times V \end{cases} \\
&\iff \begin{cases} 0,1U(1-0,01V)=0\\2V\left(0,2-10^{-7}V\right)=0\end{cases} \quad (*)\\
&\iff \begin{cases} V=100\\U=2\times 10^6\end{cases}\end{align*}$
$(*)$ $U$ et $V$ ne sont pas nuls.
S’il y a $2~000~000$ campagnols et $100$ renards alors les deux populations sont stables.
$\quad$

Si on ne suppose pas que les deux populations sont présentes, on peut prendre une suite constante égale à 0 pour $U$ ou pour $V$, mais cela rend caduc le modèle (s’il y a 0 campagnols, que mangent lesrenards? ou s’il n’y a pas de renards pour manger les campagnols, qui limitera la croissance de la population de campagnols?)