Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Correction Exercice 4

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Correction de l'exercice 4 5 points

Candidats N'AYANT PAS SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$, \[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \[1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2.\]
Initialisation : On a $u_0=1 \leq \text{e}^2$ puisque $\text{e}^2 \approx 7,39$.
Ainsi $1 \leq u_n \leq \text{e}^2$.
La propriété est donc vraie au rang $0$.
$\quad$
Hérédité : On suppose la propriété vraie au rang $n$ : $1\leq u_n \leq \text{e}^2$.
Montrons que la propriété est vraie au rang $n+1$, c’est-à-dire que $1\leq u_n \leq \text{e}^2$.
On a :
$\begin{align*} 1\leq u_n \leq \text{e}^2 &\iff 1 \leq \sqrt{u_n} \leq \text{e} \\
&\iff \text{e}\leq \text{e} \times \sqrt{u_n} \leq \text{e}^2 \end{align*}$
Or $1 \leq \text{e}$.
Donc $1 \leq u_{n+1} \leq \text{e}^2$.
La propriété est vraie au rang $n+1$.
$\quad$
Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a $1\leq u_n \leq \text{e}^2$.
$\quad$
2. 1. Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*}u_{n+1}-u_n &=\text{e}\times \sqrt{u_n}-u_n \\
   &=\sqrt{u_n}\left(\text{e}-\sqrt{u_n}\right)
   \end{align*}$
   On sait que $u_n \leq\text{e}^2$ donc $\sqrt{u_n} \leq\text{e}$.
   Par conséquent $u_{n+1}-u_n \geq 0$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est donc croissante.
   $\quad$
   
   2. En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
   La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par $\text{e}^2$. Elle converge donc.
   $\quad$
3. Pour tout entier naturel $n$, on pose \[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_{n+1}&=\ln\left(u_{n+1}\right)-2 \\
   &=\ln\left(\text{e} \times \sqrt{u_n}\right)-2 \\
   &=\ln \text{e}+\ln\left(\sqrt{u_n}\right)-2 \\
   &=1+\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-2 \\
   &=\dfrac{1}{2}\ln\left(u_n\right)-1\\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(u_n\right)-2\right) \\
   &=\dfrac{1}{2}v_n
   \end{align*}$
   La suite $\left(v_n\right)$ est donc géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=-2$.
   $\quad$
   
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, \[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a :
   $v_n=-2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n=-\dfrac{2}{2^n}=-\dfrac{1}{2^{n-1}}$.
   $\quad$
   
   3. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
   Pour tout entier naturel $n$ on a :
   $\begin{align*} v_n=\ln\left(u_n\right)-2 &\iff v_n+2=\ln\left(u_n\right) \\
   &\iff u_n=\text{e}^{v_n+2}
   \end{align*}$
   Ainsi, pour tout entier naturel $n$ on a $u_n=\text{e}^{-\frac{1}{2^{n-1}}+2}$
   $\quad$
   
   4. Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
   On a $-1<\dfrac{1}{2}<1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{2^{n-1}}=0$.
   Ainsi $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=\text{e}^2$.
4. Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$. Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant.
   
   •  Affirmation 1 : « Si $u_0 = 2\,018 $, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. »
   Affirmation 1 :fausse
   On a $u_0=2~018$ et $u_1=\text{e}\times \sqrt{2~018} \approx 122 < u_0$.
   $\quad$
   
   • Affirmation 2 : « Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. »
   Affirmation 2 : vraie
   On a $u_0=2$ donc $1 \leq u_0 \leq\text{e}^2$.
   On peut donc reprendre l’hérédité du raisonnement par récurrence de la question 1.
   $\quad$
   
   • Affirmation 3 : « La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si $u_0 = 0$. »
   Affirmation 3 :fausse
   La suite est constante si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$ on a $u_{n+1}=u_n$ soit $\text{e}\times \sqrt{u_n}=u_n$.
   On est donc ramené à résoudre l’équation $x=\text{e}\times \sqrt{x}$
   Soit $x^2=x\text{e}^2$
   Ainsi $x^2-x\text{e}^2=0$
   D’où $x\left(x-\text{e}^2\right)=0$.
   Cette équation possède deux solutions $0$ et $\text{e}^2$.
   Si on choisit $u_0=\text{e}^2$ alors $u_1=\text{e}\times \sqrt{\text{e}^2}=\text{e}\times \text{e}=\text{e}^2$ et la suite $\left(u_n\right)$ est constante.
   $\quad$