Baccalauréat S Antilles-Guyane 6 septembre 2018 - Exercice 2

Page 3 sur 10: Exercice 2

Exercice 2 6 points

Commun à tous les candidats

On note $\mathbb{R}$ l'ensemble des nombres réels.

Partie A

Soit $f_2$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f_2(x) = (x + 2)\text{e}^{-x}.\] La courbe représentative de $f_2$, notée $\mathcal{C}_2$, est tracée dans un repère orthonormé sur l'ANNEXE à rendre avec la copie.
Aucune justification ni aucun calcul ne sont attendus dans cette partie.

1. Conjecturer les limites de $f_2$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
2. Conjecturer le tableau de variations de $f_2$ à l'aide du graphique.
3. Soit $T_2$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse $0$. Tracer cette tangente sur l'ANNEXE à rendre avec la copie, puis en conjecturer une équation par lecture graphique.
4. Sur l'ANNEXE à rendre avec la copie, hachurer un domaine dont l'aire est donnée par l'intégrale \[\displaystyle\int_{-2}^6 f_2(t)\:\text{d}t.\]

 

Partie B

Pour tout réel $m$, on note $f_m$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par \[f_m(x) = (x + m)\text{e}^{- x}\] et $\mathcal{C}_m$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. Calculer les limites de $f_m$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
2. On admet que $f_m$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'_m$ sa dérivée. Montrer que, pour tout réel $x$, $f'_m(x) = (-x - m + 1)\text{e}^{- x}$.
3. En déduire les variations de $f_m$ sur $\mathbb{R}$.
4. 1. Pour tout réel $m$, on note $T_m$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}_m$ au point d'abscisse $0$. Démontrer que $T_m$ a pour équation réduite $y = (1 - m)x + m$.
   2. Démontrer que toutes les droites $T_m$ passent par un même point dont on précisera les coordonnées.
5. Étudier le signe de $f_m(x)$ pour tout réel $x$.
6. On admet que la fonction $F_2$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F_2(x) = -(x + 3)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f_2$ sur $\mathbb{R}$.
   1. Déterminer, en fonction de $x$, l'expression de \[\displaystyle\int_{-2}^x f_2(t)\:\text{d}t.\]
   2. En déduire la valeur de \[\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \int_{-2}^x f_2(t)\:\text{d}t.\]

Annexe