Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Métropole- La Réunion 8 septembre 2016 - Correction Exercice 4

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Exercice 4 7 points

Suites

Les parties A, B et C sont indépendantes.
Dans une municipalité, la collecte des déchets des particuliers s'effectue, depuis 2012, à l'aide de camions équipés de capteurs. Une tarification « incitative » permet aux habitations de diminuer leur facture en réduisant la masse de leurs ordures ménagères résiduelles par un choix de produits comportant moins d'emballages, une réduction du gaspillage alimentaire et un meilleur tri. Le document 1 présente la masse moyenne de déchets, en kilogrammes, collectés par année depuis 2012 et par habitation de la ville. Le document 2 présente les tarifs pratiqués en 2015 par la ville pour la collecte des ordures ménagères résiduelles (on suppose que ces tarifs resteront identiques les années suivantes).

Document 1

Années 2012 à 2015

$$\begin{array} {|c| c|c|c|c|} \hline \text{Année} &\text{2012} & \text{2013} & \text{2014} & \text{2015}\\ \hline \text{Déchets recyclables} & 261 & 275 & 289 & 305\\ \hline \text{Ordures ménagères résiduelles} & 274 & 269 & 262 & 256\\ \hline \text{Total} & 535 & 544 & 551 & 561\\ \hline \end{array}$$

Document 2

Année 2015

$$\begin{array}{|c| c|c|c|} \hline \text{Tranches } \text{tarifaires} & \text{Tranche 1} & \text{Tranche 2} & \text{Tranche 3}\\ \hline \text{Masse M en} \text{kilogrammes} & 0 \leqslant M < 100 & 100 \leqslant M < 300 & 300 \leqslant M \\ \hline \text{Forfait} & 200 € & 300 € & 420 €\\ \hline \end{array} $$

Partie A

 

1. Commenter l'évolution de la masse moyenne des déchets collectés par habitation depuis 2012.
Soit t % le pourcentage d'augmentation annuel moyen de la masse des déchets collectés par habitation de 2012 à 2015. On a : $$\begin{array}{rl} 535\times \left(1+\dfrac{t}{100} \right)^3= 561& \iff \left(1+\dfrac{t}{100} \right)^3 = \dfrac{561}{535} \\ & \left(1+\dfrac{t}{100} \right) = \left(\dfrac{561}{535} \right)^{\frac{1}{3}}\\ &\iff \dfrac{t}{100} \approx 0,0159 \end{array}$$ Depuis 2012, la masse moyenne des déchets collectés par habitation a augmenté d'envirion 1,6 % par an.

2. Une famille a jeté 320 kg d'ordures ménagères résiduelles en 2015. Si elle diminue la masse de ses ordures ménagères résiduelles de 1 % par an, en quelle année changera-t-elle de tranche tarifaire ?
Soit $n$ le nombre d'années nécessaires pour passer dans la tranche 2. $n$ est le plus petit entier solution de l'inéquation : $$\begin{array}{rll} 320\times 0,99^n< 300 & \iff 0,99^n < \dfrac{300}{320}&\\ & \iff \ln\left (0,99^n\right ) \leqslant \ln\left (\dfrac{15}{16}\right ) & \text{ car } \ln \text{ est strictement croissante } \\ && \text{ sur } ]0; +\infty[ \\ &\iff n \ln\left (0,9 \right ) \leqslant\ln\left (\dfrac{15}{16}\right ) & \text{ car } \ln\left (a^n\right )=n\ln a \\ &\iff n\geq \dfrac{\ln\left (\dfrac{15}{16}\right )}{\ln\left (0,99 \right )}& \text{ car } 0,99< 1 \text{ ainsi } \ln\left (0,9 \right )< 0\\ \end{array}$$ Comme $\dfrac{\ln\left (\dfrac{15}{16}\right )}{\ln\left (0,99 \right )}\approx 6,4$ on en déduit que $n=7$ Si cette famille diminue la masse de ses ordures ménagères résiduelles de 1 % par an, c'est en 2022 qu'elle changera de tranche tarifaire.

 

Partie B

En 2015, la municipalité comptait 10000 habitations. Dans le cadre de l'aménagement d'un nouveau quartier un constructeur garantit la livraison de 300 nouvelles habitations chaque année au 1er janvier, de 2016 à 2024. En raison de la demande, ces logements seront immédiatement occupés dès le 1er janvier. La municipalité a souscrit avec un centre d'incinération un contrat de 9 ans qui a pris effet au 1er janvier 2016. Le contrat prévoit de fortes pénalités financières dès que la masse annuelle d'ordures ménagères résiduelles à incinérer vient à dépasser 2800 tonnes. L'objectif de la municipalité est d'éviter ces pénalités.

1. Vérifier que cet objectif ne sera pas atteint si la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation reste constante égale à 256 kg.
Soit $a_n$ le nombre d'habitations le 1er janvier de l'année $2015+n$.
On a $a_0=10000$ et, pour tout entier $n, a_{n+1}=a_n+300$.
La suite $(a_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $a_0=10000$ et de raison $r=300$. Donc pour tout entier $n$, on a $a_n=10000+300\times n$.
La masse d'ordures ménagères résiduelles à incinérer , exprimée en tonnes, pour l'année $2015+n$ est $d_n=a_n\times 0,256$.
Soit pour tout entier $n, d_n=10000+300\times n\times 0,256=2560+76,8\times n$
Donc : $$\begin{array}{rl} d_n \leq 2800 &\iff 2560+76,8\times n\leq 2800 \\ &\iff 76,8\times n\leq 2800 \\ &\iff n\leq \dfrac{240}{76,8}\\ &\iff n\leq 3,125 \end{array}$$ Si la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation reste constante égale à 256 kg, l'objectif ne sera pas atteint dès la quatrième année c'est à dire au 1er janvier 2019.
2. Afin d'atteindre cet objectif, il convient donc de diminuer la masse moyenne d'ordures ménagères résiduelles à incinérer. La municipalité souhaite déterminer le pourcentage annuel minimal de réduction de la masse moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation, pendant toute la durée du contrat. On admet que l'algorithme ci-dessous détermine ce pourcentage.
   Variables
   • $N$ : un nombre entier
   • $m$ : un nombre réel
   • $q$ : un nombre réel
   Initialisation
   • $q$ prend la valeur 1
   • $N$ prend la valeur 12700
   • $m$ prend la valeur 0,256
   Traitement
   • Tant que $N \times m \geqslant 2800$
     $q$ prend la valeur $q-0,001$
     $m$ prend la valeur $0,256 \times q^9$
   • Fin Tant que
   Sortie Afficher $\left(1-q\right) \times 100$
Cet algorithme affiche 1,7.
1. Expliquer la ligne « $N$ prend la valeur 12700 »
Le nombre d'habitations en 2024 est : $$a_9=10000+300\times 9=12700$$ $N=12700$ modélise le nombre d'habitations en 2024.
2. Expliquer la ligne « $m$ prend la valeur $0,256 \times q^9$ »
Le coefficient multiplicateur associé à une baisse annuelle de $t\; \%$ de la masse d'ordures ménagères résiduelles par habitation est : $q=1-\dfrac{t}{100}$
Au bout de 9 ans, la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation, exprimée en tonnes, est donc $m=0,256\times q^9$
3. On considère que la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation va baisser chaque année de 1,7\%, à partir du 1\up{er} janvier 2016 sur une période de 9 ans. On note $u_n$ cette masse, exprimée en tonnes, pour l'année $2015 + n$ où $n$ est un entier naturel. On a donc $u_0 = 0,256$.
   1. Calculer les termes $u_1$, $u_2$ et vérifier que $u_3\approx 0,243$. Interpréter $u_3$.
   Le coefficient multiplicateur associé à une baisse annuelle de $1,7\;\ %$ de la masse d'ordures ménagères résiduelles par habitation est : $q=1-\dfrac{1,7}{100}=0,983$ On en déduit que :
   • $u_1=0,256\times 0,983\approx 0,243$
   • $u_2=0,256\times 0,9832\approx 0,247$
   • $u_3=0,256\times 0,9833\approx 0,243$
   Fin 2018 ( ou au 1er janvier 2019), la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation est d'environ 243 kg.
   2. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ?
   Pour tout entier $n, u_{n+1}=u_n\times 0,983$ donc $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,983$.
   3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
   $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,983$ et de premier terme $u_0=0,256$ donc pour tout entier $n$, on a $u_n=0,256\times 0,983^n.$
   4. Vérifier que l'objectif fixé par la municipalité est atteint en fin de 2024.
   À la fin de l'année 2024, le nombre d'habitations est de 12700 et la masse annuelle moyenne d'ordures ménagères résiduelles par habitation est $m=0,256\times 0,9839$.
   Par conséquent, la masse totale d'ordures ménagères résiduelles est : $$12700\times 0,256\times 0,9839\approx 27986,3$$ L'objectif fixé par la municipalité est atteint en fin de 2024.

 

Partie C

Dans cette partie, tous les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$. Des contrôles sont effectués afin de vérifier le tri des déchets.

Protocole d'étude

On choisit au hasard $100$ habitations. Des personnels ont ouvert les poubelles de déchets recyclables de ces habitations afin de déterminer s'ils étaient conformes (absence de matériaux non recyclables, de cartons souillés $\ldots$).

Résultats de l'étude

Parmi ces 100 poubelles de déchets recyclables, 7 ont été jugées non conformes.

1. Déterminer, à l'aide d'un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 %, une estimation de la proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes.

La fréquence est égale à  $\1$. La taille $n$ de l'échantillon considéré est égale à  $\2.$
Comme  $ n =\2$ ,   $n \times \8  $=\3  et $n\times (1-\8)=\4,$ les conditions d'utilisation d'un intervalle de confiance sont réunies.

En effet on a bien : $$n \geq 30\;;\; n \times \8 \geq 5 \text{ et } n\times (1-\8) \geq 5$$

L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95% est : \[\9 = \left[\8 - 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}}~;~\8 + 1,96\sqrt{\dfrac{\8(1 - \8)}{n}} \right]\]
La fréquence est $\8=\1$.
L'intervalle de confiance au niveau de 95% est \[\9 = \left[\1 - 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}}~;~\1 + 1,96\sqrt{\dfrac{\1 (1 - \1 )}{\2}} \right]\approx[\5~;~\6]\] 

Soit avec des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des bornes de l'intervalle, l'intervalle de confiance est $IC_{100}=[0,019; 0,12]$.
2. La proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes est-elle nécessairement comprise dans cet intervalle de confiance ?
Un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95 % ne contient pas nécessairement la propotion $p$ inconnue. Si on extrait un gand nombre d'échantillons de même taille, 95 % des échantillons donnent un intervalle de confiance contenant $p$.
La proportion de poubelles de déchets recyclables qui ne sont pas conformes n'appartient pas nécessairement à cet intervalle de confiance.