Baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL Antilles-Guyane 19 juin 2014

Exercice 1 5 points

QCM nombres complexes, suites et équations différentielles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

1. Soit $x$ un réel quelconque, $\text{e}^{- 4x}$ est égal à :
   1. $\text{e}^{x} \times \text{e}^{- 4}$
   2. $- \text{e}^{4x}$
   3. $x \times \text{e}^{- 4}$
   4. $\dfrac{1}{\text{e}^{4x}}$
2. L'intégrale $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à :
   1. 5
   2. 10
   3. 2,5
   4. 1
3. $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0,98$. $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison $1,02$. Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est :
   1. 14
   2. 15
   3. 16
   4. 17
4. $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l |l|}\hline \text{Variables} & n, u\\ \text{Initialisation} & u \text{ prend la valeur 1}\\ &n \text{ prend la valeur 0}\\ \text{Traitement} & \text{ Tant que } u < 1000 \\ &\quad n \text{ prend la valeur } n + 1\\ &\quad u \text{ prend la valeur } u \times \dfrac{5}{3}\\ &\text{ Fin tant que}\\ \text{Sortie} & \text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$ Cet algorithme affiche en sortie :
   1. la valeur de $u_{ 1001 }$
   2. la plus grande valeur de $n$ vérifiant $u_{n} < 1000$
   3. la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant 1000$
   4. la plus petite valeur de $u_{n}$ vérifiant $u_{n} \geqslant 100 $
5. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$. La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle :
   1. $y"" + y = 0$
   2. $16y'' - 9y = 0$
   3. $9y'' + 16y = 0$
   4. $9y'' - 16y = 0$

Correction de l'exercice 1 (5 points)

QCM nombres complexes, suites et équations différentielles

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.

Pour tout réel $x$ on a $\text{e}^{- x}=\dfrac{1}{\text{e}^{x}}$
1. Soit $x$ un réel quelconque, $\text{e}^{- 4x}$ est égal à :
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. FAUX
   4. VRAI : $\dfrac{1}{\text{e}^{4x}}$
2. L'intégrale $\displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ est égale à : $$\begin{array}{ll} I&= \displaystyle\int_{\ln 2}^{\ln 3}\text{e}^{2x}\:\text{d}x\\ & = \left [ \dfrac{1}{2} \text{e}^{2x}\right ]_{\ln 2 }^{\ln 3} \\ & = \dfrac{1}{2} \text{e}^{2\ln 3} - \dfrac{1}{2} \text{e}^{2\ln 2} \\ & = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\ln 9} - \dfrac{1}{2} \text{e}^{\ln 4} \\ & = \dfrac{9}{2} - \dfrac{4}{2} \\ & = \dfrac{5}{2} \\ \end{array}$$
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. VRAI $I=$2,5
   4. FAUX
3. $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 5$ et de raison $0,98$. $\left(v_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $v_{0} = 2,8$ et de raison $1,02$. Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est : $$\begin{array}{ll} u_n\leq v_n &\iff 5 \times 0,98 ^n \leq 2,8 \times 1,02^n &\\ & \iff \dfrac{0,98^n}{1,02^n} \leq \dfrac{2,8}{1,02} & u_n=q ^n \times u_0\\ & \iff \left (\dfrac{0,98}{1,02}\right )^n \leq 0,56 & \\ & \iff \ln \left ( \left (\dfrac{0,98}{1,02}\right )^n \right ) \leq \ln (0,56) & \text{ On apllique } \ln \\ & \iff n\ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right ) \leq \ln (0,56) & \text{strictement croissante sur } ]0;+\infty[ \\ & \iff n \geq \dfrac{ \ln (0,56) }{\ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right )} & \text{car } \ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right ) < 0 \\ \end{array}$$ Par ailleurs $ \dfrac{ \ln (0,56) }{\ln \left ( \dfrac{0,98}{1,02} \right )}\approx 14,5$
   Le plus petit entier $n$ vérifiant $u_{n} \leqslant v_{n}$ est 15.
   1. FAUX
   2. VRAI : 15
   3. FAUX
   4. FAUX
4. $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 1$ et de raison $\dfrac{5}{3}$. On donne l'algorithme suivant : $$\begin{array}{|l |l|}\hline \text{Variables} & n, u\\ \text{Initialisation} & u \text{ prend la valeur 1}\\ &n \text{ prend la valeur 0}\\ \text{Traitement} & \text{ Tant que } u < 1000 \\ &\quad n \text{ prend la valeur } n + 1\\ &\quad u \text{ prend la valeur } u \times \dfrac{5}{3}\\ &\text{ Fin tant que}\\ \text{Sortie} & \text{ Afficher } n\\ \hline \end{array}$$ Cet algorithme affiche en sortie :
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. VRAI :la plus petite valeur de $n$ vérifiant $u_{n} \geqslant 1000$
   4. FAUX
5. Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$. Pour tout réel $x$ on a $$f'(x)= 2 \times \dfrac{4}{3}\times \left (-\sin \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right )=-\dfrac{8}{3}\sin \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$ De même on calcule $$f''(x)=-\dfrac{8}{3}\times \dfrac{4}{3} \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{32}{9} \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$ On a alors $$9\times f''(x)+16 \times f(x)= 9\times \left (-\dfrac{32}{9} \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)\right )+16\times 2 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)$$ soit $$9\times f''(x)+16 \times f(x)=-32 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)+32 \cos \left(\dfrac{4}{3}x - \dfrac{\pi}{6}\right)+0$$ La fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle $9y'' + 16y = 0$.
   1. FAUX
   2. FAUX
   3. VRAI :$9y'' + 16y = 0$
   4. FAUX

Exercice 2 5 points

Exercice 2 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

1. La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$.
   1. Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la 32000 $^e$ heure de fonctionnement.
   2. On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
   On prendra $1$ année = $365$ jours .
   3. Calculer la probabilité que la première panne survienne après 10000 heures et avant 40000 heures de fonctionnement.
   4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
2. La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$. Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant 32000 ) = 0,8$. Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.

Exercice 2 5 points

Probabilités

Dans cet exercice, on s'intéresse à deux types A et B de téléviseurs à écran plat. Les réponses aux questions 1. a., 1. b. et 1. c. seront arrondies au centième.

1. La durée de fonctionnement, exprimée en heures, d'un téléviseur du type A, avant que survienne la première panne, est modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$.
   1. Calculer la probabilité que la première panne survienne avant la 32000 $^e$ heure de fonctionnement.
   
   $X $suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 2 \times 10^{-5}$ alors, $$\begin{array}{ll} p(X\leq 3200)&= \displaystyle\int_{0}^{3200} 2 \times 10^{-5}\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\:\text{d}t\\ & = \left [ -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\right ]_{0}^{3200} \\ & =1 - \text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 3200} \\ & = 1- \text{e}^{-0,64} \\ & \approx 0,47 \\ \end{array}$$
   La probabilité que la première panne survienne avant la 32000$^e$ heure de fonctionnement est, arrondie au centième près, égale à 0,47.
   2. On s'intéresse à un téléviseur de type A fonctionnant chaque jour pendant 4 heures. Calculer la probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans.
   On prendra $1$ année = $365$ jours .
   $10\times 4 \times 365=14600 $ et $$\begin{array}{ll} p(X\geq 14 600) & =1 -p(X < 14 600 ) \\ &= 1-\displaystyle\int_{0}^{14 600} 2 \times 10^{-5}\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\:\text{d}t\\ & = 1-\left [ -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\right ]_{0}^{14 600} \\ & =1-\left (1 - \text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 14 600} \right ) \\ & = \text{e}^{-0,292} \\ & \approx 0,75 \\ \end{array}$$
   La probabilité que la première panne d'écran ne survienne pas avant 10 ans est, arrondie au centième près, égale à 0,75.
   3. Calculer la probabilité que la première panne survienne après 10000 heures et avant 40000 heures de fonctionnement.
   $$\begin{array}{ll} p(10 000 X\geq 40 00)&= \displaystyle\int_{10 000}^{40 00} 2 \times 10^{-5}\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\:\text{d}t\\ & = \left [ -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} t}\right ]_{10 000}^{40 00} \\ & = -\text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 40 00} + \text{e}^{-2 \times 10^{-5} \times 10 00} \\ & = - \text{e}^{-0,8} + \text{e}^{-0,2} \\ & \approx 0,37 \\ \end{array}$$
   La probabilité que la première panne survienne après 10 000 heures et avant 40 000 heures de fonctionnement est, arrondie au centième près, égale à 0,37.
   4. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et en donner une interprétation.
   L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$est $E(X) = \dfrac{1 }{\lambda}=\dfrac{1}{2 \times 10^{-5} }=\dfrac{10^5}{2}=50 000$. La durée de fonctionnement moyenne d'un téléviseur du type A est de 50000 heures.
2. La durée de fonctionnement avant la première panne d'un téléviseur de type B est modélisée par une variable aléatoire $Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$.
   Une étude statistique a permis d'évaluer $P(Y \leqslant 32000 ) = 0,8$.
   Calculer la valeur arrondie à $10^{-5}$ de $\lambda'$.

$Y$ suivant la loi exponentielle de paramètre $\lambda'$ tel que $ p(Y\leq 32 000)=0,8$ d'où : $$\begin{array}{ll} p(Y\leq 32 000)=0,8 &\iff \displaystyle\int_{0}^{32 00} \lambda'\text{e}^{-\lambda' t}\:\text{d}t =0,8\\ & \iff \left [ -\text{e}^{-\lambda' t}\right ]_{0}^{32 00} =0,8 \\ & \iff 1 -\text{e}^{-32 000 \times \lambda'} =0,8 \\ & \iff \text{e}^{-32 000 \times \lambda'} =0,2 \\ & \iff -32 000 \times \lambda' =\ln 0,2 \\ & \iff \lambda' =-\dfrac{\ln 0,2 }{3200} \\ & \iff \lambda' =\dfrac{\ln 5 }{3200} \\ & \iff \lambda' =\dfrac{\ln 5 }{3200} \\ & \iff \lambda' \approx 5 \times 10^{-5} \end{array}$$
La valeur arrondie à  $10^{-5}$ de  $\lambda'$ est $\lambda' \approx 5 \times 10^{-5} $

Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$.

PARTIE A

1. Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$.
2. On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$.
   1. Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$.
   2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. Placer ces trois points dans le repère. Justifier l'alignement de ces trois points.

PARTIE B

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

1. Écrire $u$ sous la forme exponentielle.
2. 1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$.
   2. Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$.
   3. Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.

Exercice 3 5 points

Nombres complexes

Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Le plan est rapporté à un repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{u},~\vec{v}\right)$d'unités 5 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
Soit $z$ le nombre complexe de module 2 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$,
$\overline{z}$ est le nombre complexe conjugué de $z$.

PARTIE A

1. Donner les écritures algébriques de $z$, de $\overline{z}$ et de $\dfrac{1}{2}\overline{z}$.

$z=2e^{i\frac{\pi}{3}}=2\left(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)=2\left(\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt 3}{2}\right)= 1 + i \sqrt 3$
$$z= 1 + i \sqrt 3$$ $$\overline{z}= 1 - i \sqrt 3$$ $$\dfrac{1}{2}\overline{z}= \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}$$
2. On considère le nombre complexe $p = \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}}$.
   1. Montrer que $p = - \text{i}\sqrt{3}$.
   
   $$\begin{array}{ll} \dfrac{2 + \overline{z}}{2 - \overline{z}} &= \dfrac{2+1 - i \sqrt 3}{2-1 + i \sqrt 3}\\ & = \dfrac{3 - i \sqrt 3}{1 + i \sqrt 3} \\ & = \dfrac{(3 - i \sqrt 3)( 1 - i \sqrt 3)}{(1 + i \sqrt 3)( 1 - i \sqrt 3)} \\ & = \dfrac{3 -3 i \sqrt{3} -i \sqrt{3}+3i^2}{1^2+\left (\sqrt{3}\right )^2} \\ & = \dfrac{3 -4 i \sqrt{3} -3}{4} \\ & = -i \sqrt{3} \\ \end{array}$$
   Ainsi $p= -i \sqrt{3}$
   2. Les points M, N et P sont les points d'affixes respectives 1, $\dfrac{1}{2}\overline{z}$ et $p$. Placer ces trois points dans le repère.
      Justifier l'alignement de ces trois points.
   
   
   • L'affixe du vecteur $\vec{MN}$ est $z_{\vec{MN}}=z_N-z_M= \dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}-1=-\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt 3}{2}$
   • L'affixe du vecteur $\vec{MP}$ est $z_{\vec{MP}}=z_P-z_M= -i \sqrt{3}-1=-1-i \sqrt 3 $
   • De $z_{\vec{MP}}=2z_{\vec{MN}}$ on déduit l'égalité $\vec{MP}=2 \vec{MN}$ on déduit que les vecteurs $\vec{MN}$ et $\vec{MP}$ sont colinéaires donc les points M, N et P sont alignés.

PARTIE B

Soit $u$ le nombre complexe défini par $u = \dfrac{1}{2}z$.

1. Écrire $u$ sous la forme exponentielle.


2. 1. Donner l'écriture exponentielle puis l'écriture algébrique de $u^3$.
   
   $u = \dfrac{1}{2}z$ donc $u$ est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{3}$ d'où :$u=e^{i\frac{\pi}{3}}$
   On a alors $u^3= \left (e^{i\frac{\pi}{3}}\right )^3= e^{i\frac{3\pi}{3}}=e^{i\pi}$ $$u^3= e^{i\pi}=-1$$
   2. Vérifier les relations suivantes : $u^4 = - u$ et $u^5 = - u^2$.
   
   $$u^4=u^3 \times u =-1 \times u=-u$$ $$u^5=u^3 \times u^2 =-1 \times u^2=-u^2$$
   3. Vérifier que $1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6 = 1$.
   
   $$u^6=\left (u^3\right )^2=(-1)^2$$ On a alors : $$1 + u + u^2 + u^3 + u^4 + u^5 + u^6=1 + u + u^2 -1 -u-u^2 + 1=1$$

Exercice 4 6 points

Fonction logarithme On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille ANNEXE .

1. Lire sur le graphique la limite de la fonction f en O. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de f(x).
2. Montrer que la fonction dérivée de f sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.
3. Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
4. 1. On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.
   2. Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
5. Montrer que la fonction $F$ définie par \[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
6. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}^2$.
   1. Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$.
   2. Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.

Annexe l'exercice 4

Fonction logarithme

Exercice 4 6 points

Fonction logarithme On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = (2 - \ln x) \ln x.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ dans un repère orthonormal est donnée sur la feuille ANNEXE .

1. Lire sur le graphique la limite de la fonction f en O. Retrouver ce résultat à l'aide de l'expression de f(x).

Graphiquement, il semblerait que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ admette pour asymptote l'axe des ordonnées. On en déduit, par lecture graphique, que la limite de la fonction $f$ en 0 est $-\infty$
 $\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to 0^+}~\ln x=-\infty\\ \lim\limits_{x \to 0^+}~2 - \ln x=+\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient: $\lim\limits_{x \to 0 ^+} (2 - \ln x) \ln x = -\infty$
$$\lim\limits_{x \to 0 ^+} f(x) = -\infty$$
2. Montrer que la fonction dérivée de f sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ est définie par $f'(x) = \dfrac{2(1 - \ln x)}{x}$.

$f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_{ f}$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =\ln x \\ v(x)~ =2 - \ln x \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\dfrac{1}{x} \\ v'(x)~ =-\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$
Soit pour tout réel $x$ strictement positif, $f$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $D_{ f}$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =\ln x \\ v(x)~ =2 - \ln x \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =\dfrac{1}{x} \\ v'(x)~ =-\dfrac{1}{x} \end{array}\right.$
Ainsi pour tout réel $x$, dans $]0~;~+ \infty[$ : $$\begin{array}{ll} f'(x) &= \dfrac{1}{x}\times \left (2 - \ln x\right ) +\left (-\dfrac{1}{x}\right ) \times \ln x \\ & = \dfrac{ 2-\ln x - \ln x}{x} \\ & = \dfrac{ 2-2 \ln x }{x} \\ & = \dfrac{ 2\left ( 1 - \ln x \right ) }{x} \\ \end{array}$$
La dérivée de la fonction $f $ est la fonction $f'$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f'(x)= \dfrac{ 2\left ( 1 - \ln x \right ) }{x}$
3. Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ est dans l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ puis donner les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$, $f'(x)$ est du même signe que $1-\ln x $ et, pour tout réel $x$ strictement positif,
$$\begin{array}{lll} \\ f'(x) > 0 & \iff 1-\ln x > 0 & \\ & \iff -\ln x > -1 & \text{ en ajoutant } -1\\ & \iff \ln x < 1 & \text{ en multipliant par } -1 < 0 \\ & \iff e^{ \ln x } < e^1 & \text{ en appliquant la fonction exponentielle } \\ & \iff 0 < x < e & \text{ strictement croissante sur } ]0~;~+ \infty[\\ \end{array}$$
Les variations de la fonction $f$ se déduisent du signe de sa dérivée :

$f(e)= \left (2-\ln(e )\right )\ln e=1 $
$\left.\begin{array}{l} \lim\limits_{x \to +\infty}~ \ln x=+\infty \\ \lim\limits_{x \to +\infty}~2- \ln x=-\infty \end{array}\right\}$ par produit on obtient:
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=-\infty$
4. 1. On appelle A et B les points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses (Voir le graphique). Calculer les abscisses des points A et B.
   
   Les abscisses des points A et B sont les réels $x$ strictement positifs, solutions de l'équation $f(x)=0$. Soit les réels $x$ strictement positifs tels que : $$\begin{array}{lll} \\ f(x) = 0 & \iff (2 - \ln x) \ln x = 0 \\ & \iff -\ln x > (2 - \ln x) = 0 \text{ ou } \ln x =0\\ & \iff \ln x =2 \text{ ou } \ln x =0 \\ & \iff x =e^2 \text{ ou } x =e^0 \\ & \iff x =e^2 \text{ ou } x =1 \\ \end{array}$$
   Les coordonnées des points A et B sont : A$ (1, 0)$ et B$(e^2;0)$.
   2. Calculer le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A. Tracer la droite $\mathcal{T}$ sur le graphique donné en annexe.
   
   
   Le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse 1 est $f'(1)=2$.


5. Montrer que la fonction $F$ définie par \[F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\] est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.

Pour tout réel $x$ strictement positif, $F(x) =x\left ( (-\ln x)^2 + 4 \ln x - 4\right )$.
$F$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f'=u' v+uv' $ avec pour tout réel $x$, dans $]0~;~+ \infty[$ :
$\left\{ \begin{array}{l} u(x)~ =x \\ v(x)~ =(-\ln x)^2 + 4 \ln x - 4 \end{array}\right.$ ainsi : $\left\{ \begin{array}{l} u'(x)~ =1 \\ v'(x)~ =-2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x+ \dfrac{4}{x} =\dfrac{4 - 2 \ln x}{x}\end{array}\right.$
pour tout réel $x$, dans $]0~;~+ \infty[$ :
$\begin{array}{ll} F'(x) &= 1\times \left (-(\ln x)^2 + 4 \ln x - 4\right ) +\dfrac{4 - 2 \ln x}{x} \times x \\ & = -(\ln x)^2 + 4 \ln x - 4 +4 - 2 \ln x \\ & = -(\ln x)^2 + 2 \ln x \\ & = (2 - \ln x) \ln x \\ \end{array}$
Pour tout réel $x$ strictement positif, $F′(x)=f(x)$ donc la fonction $F$ définie par $F(x) = - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
6. On note $\mathcal{D}$ le domaine du plan limité par la courbe $\mathcal{C}_{f}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}^2$.
   1. Hachurer sur le graphique donné en annexe le domaine $\mathcal{D}$.
   
   $\mathcal{D}$ est le domaine sous la courbe $\mathcal{C}_{f}$ colorié.
   
   
   2. Calculer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
   
   $$\begin{array}{ll} \mathcal{A}&= \displaystyle\int_{1}^{ \text{e}^2}f(x)\:\text{d}x&\\ & = \left [ F(x)\right ]_{1}^{ \text{e}^2} &\\ & = \left [ - x(\ln x)^2 + 4x \ln x - 4x\right ]_{1}^{ \text{e}^2} &\\ & = - \text{e}^2\left (\ln \left(\text{e}^2\right)\right )^2 + 4\text{e}^2 \ln \left (\text{e}^2\right ) - 4 \text{e}^2 -(-4)& \text{Or } \ln \left (\text{e}^2\right )=2 \ln \text{e} =2 \\ & =-4 &\\ \end{array}$$
   L'aire du domaine $\mathcal{D}$ est égale à 4 unités d'aire.