Baccalauréat STI2D Antilles-Guyane 18 juin 2014

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 Sciences et technologies du design et des arts appliqués

Exercice 1 (7 points)


Fonctions

Un designer-graphiste a imaginé le logo ci-dessous. Il est constitué de deux demi-cercles concentriques et d'une courbe. L'objectif de cet exercice est de reproduire ce logo.

Antilles-Guyane 18 juin 2014-Ex1

Partie A : Les demi-cercles

  1. Dans le repère orthonormal $\left(\text{O},~\vec{i},\vec{j}\right)$ de l'annexe 1, on a placé les points A(5 ; 2) et B$(-1 ; 2)$ puis on a tracé le demi-cercle supérieur joignant les points A et B.
    1. Donner une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB].
    2. Déterminer par le calcul les coordonnées exactes du point d'intersection de l'axe des ordonnées avec ce demi-cercle.
    1. Sur la figure de l'annexe 1, placer le point C(4 ; 4) puis tracer le demi-cercle joignant les points C et O, correspondant au deuxième demi-cercle du logo.
    2. Tracer la droite $(T)$, tangente à ce demi-cercle au point O. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de $(T)$.

Partie B : La courbe
On souhaite construire la base du logo avec un raccordement lisse en O. Soit $f$ la fonction définie sur [0 ; 5] par \[f(x) = - 0,072 x^3 + 0,64 x^2 - x.\] On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans le repère de l'annexe 1.

  1. Justifier que la courbe $\mathcal{C}_{f}$ passe par les points 0 et A.
  2. On note l' la fonction dérivée de la fonction $f$.
    1. Calculer $f'(x)$.
    2. Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $0$.
    3. Calculer $f'(5)$ et donner une interprétation graphique du résultat obtenu.
    4. Vérifier que $f'(x) = 0,008 (5 - x)(27x - 25)$.
  3. En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 5].
  4. Sur l'annexe 1, compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ (on arrondira à $10^{-3}$ près).
  5. Sur l'annexe 1, compléter le logo en traà§ant $\mathcal{C}_{f}$
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