Baccalauréat STI2D - STL Polynésie 16 juin 2014 spécialité SPCL - Correction Exercice 2

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Exercice 2 4 points

Suites

«  En 2009, les Français ont en moyenne produit $374$ kg de déchets ménagers par habitant. »  Source Ademe
Le maire d'une commune de 53700 habitants constata avec déception que ses administrés avaient produit 23000 tonnes de déchets en 2009, Il décida alors de mettre en place une nouvelle campagne de sensibilisation au recyclage des papiers, plastiques, verres et métaux.
Cela permit à la ville d'atteindre $400$ kg de déchets ménagers en moyenne par habitant en 2011 et d'espérer réduire ensuite cette production de 1,5 % par an pendant 5 ans.

1. Justifier la déception du maire en 2009.

En 2009, la quantité moyenne (en kg) de déchets ménagers produite par habitant était : $\dfrac{23000 \times 1000}{53700} \approx 438 $
En 2009, les habitants de cette commune ont en moyenne produit 438 kg de déchets ménagers par habitant, d'où la déception du maire.
2. On note $d_{0} = 400$. Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on note $d_{n}$ la quantité (en kg) de déchets ménagers produite par habitant de cette ville durant l'année $2011 + n$.
   1. Montrer que $d_{1} = 0, 985d_{0}$.
   
   À partir de 2011, la quantité de déchets ménagers produite par habitant est réduite de 1,5 % par an pendant 5 ans d'où :
   $$d_1=400\times \left (1-\dfrac{1,5}{100}\right) =400\times 0 ,985=0,985 d_0$$
   Ainsi, $d_1=0,985 d_0$
   2. Déterminer la nature de la suite $\left(d_{n}\right)$. Exprimer $d_{n}$ en fonction de $n$ puis calculer la limite de la suite $\left(d_{n}\right)$.
   
   
   • Pour tout nombre entier naturel $n, d_{n+1}=0,985 d_n$ donc $\left (d_n\right )$ est une suite géométrique de raison 0,985.
   • $\left (d_n\right )$ est une suite géométrique de raison 0,985 et de premier terme $d_0=400$
     donc pour tout entier $n, d_n=q^n \times d_0= 400\times 0,985^n$.
   • $0 < 0,985 < 1 $ donc $\lim\limits_{n \to +\infty}~ 0,985^n=0$ d'où, $\lim\limits_{n \to +\infty}~ 400\times0,985^n=0$. Soit $\lim\limits_{n \to +\infty}~ d_n=0$
     donc la suite $\left (d_n\right )$ converge vers 0.
   3. Quelle devrait être, à ce rythme là , la production en kilogrammes de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 ?
   
   $$d_3=400\times 0,985^3 \approx 382$$
   Selon ce modèle, la production de déchets ménagers par habitant dans cette ville en 2014 est de 382 kg.


3. On considère l'algorithme suivant : $$ \begin{array}{|l |l |}\hline & \text{ Les variables sont l'entier naturel } N \text{ et le réel } d. \\ \text{ Initialisation :}& \text{ Affecter à } N \text{ la valeur 0 }\\ &\text{ Affecter à } d \text{ la valeur 400 }\\ \text{ Traitement :}& \text{ Tant que }d > 374\\ & \text{ Affecter à } N \text{ la valeur } N + 1\\ & \text{ Affecter à } d \text{ la valeur } 0,985d\\ &\text{ Fin Tant que }\\ \text{ Sortie : }& \text{ Afficher } N \\\hline \end{array}$$ Donner la valeur affichée pour $N$ et interpréter ce résultat.

$N$ est égal au plus petit entier $n$ solution de l'inéquation $400 \times 0,985^n \leq 374$ $$\begin{array}{lll} \\ 400 \times 0,985^n \leq 374 & \iff 0,985^n \leq \dfrac{374}{400} & \\ & \iff \ln\left (0,985^n\right ) \leq \ln\left (\dfrac{374}{400}\right ) & \text{ La fonction } \ln \text{ est strictement croissante sur } ]0~;~+ \infty[ \\ & \iff n \ln\left (0,985 \right ) \leq \ln\left (\dfrac{374}{400}\right ) & \text{ car } \ln\left (a^n\right )=n\ln a\\ & \iff n \geq \dfrac{\ln\left (\dfrac{374}{400}\right )}{\ln\left (0,985 \right ) } & \ln\left (0,985 \right ) < 0 \\ \end{array}$$ Comme $\dfrac{\ln\left (\dfrac{374}{400}\right )}{\ln\left (0,985 \right ) }\approx 4,4$ , le plus petit entier que $400 \times 0,985^n \leq 374$ est 5.
La valeur affichée est $N=5$. C'est en 2016 que la quantité de déchets ménagers produite par habitant de cette ville sera inférieure à 374 kg.