Baccalauréat STI 2D Métropole septembre 2013 - Exercice 4

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Exercice 4 6 points

Fonctions exponentielles

Un architecte veut établir les plans d'un hangar pour ballon dirigeable. La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.

Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical $[\mathrm{OS}]$ et $\mathrm{OH} = 30 \mathrm{m}$. L'arc $\overset{\displaystyle\frown}{SA}$ de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle $[0;60]$, dans un repère orthonormal direct d'origine O du plan, l'unité étant le mètre. Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :

• $\mathrm{OS} = 60$ ;
• $\mathrm{HK} > 35$ ;
• la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l'intervalle [0;60] ;
• $\mathrm{OA} \leqslant 60$.

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Partie A- Étude d'une fonction numérique

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1. Vérifier que la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $f(x) = 80 - 20e^{0,025x}$ vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
2. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à $10^{- 1}$ près par excès du réel $a$ qui vérifie $f(a) = 0$. Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.

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Partie B- Calcul d'intégrale et application

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1. 1. La fonction $F$ est définie sur l'intervalle $[0;60]$ par $F(x) = 80x - 800e^{0,025x}$. Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;60]$.
   2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{55,5} f(x) \;d x$.
   3. Donner la valeur approchée, arrondie à $10^{- 2}$ près de $J$.
2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
   1. Déterminer à $10^{-2}$ près l'aire de cette surface exprimée en $\mathrm{m}^2$.
   2. La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 0,2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour peindre la surface extérieure de la façade avant ?