Primitives
- IPrimitives d'une fonction continue
- IILes primitives des fonctions usuelles
- IIIOpérations et primitives
IPrimitives d'une fonction continue
Soit $\displaystyle{f}$ une fonction définie sur un intervalle $\displaystyle{I}$.
On appelle primitive de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$ toute fonction $\displaystyle{F}$ dérivable sur $\displaystyle{I}$ qui vérifie :
$$\forall x \in I \text{ , } F'(x) = f(x)$$
On appelle primitive de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$ toute fonction $\displaystyle{F}$ dérivable sur $\displaystyle{I}$ qui vérifie :
$$\forall x \in I \text{ , } F'(x) = f(x)$$
- Toute fonction continue sur un intervalle $\displaystyle{I}$ admet des primitives sur $\displaystyle{I}$.
- Si $\displaystyle{F}$ est une primitive de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$, alors les primitives de $\displaystyle{f}$ sur $\displaystyle{I}$ sont de la forme :
$\displaystyle{F(x) + k}$, pour tout réel $\displaystyle{k}$.
IILes primitives des fonctions usuelles
Soit un entier $\displaystyle{n}$, $\displaystyle{k}$ un réel ; la fonction $\displaystyle{F}$ est une primitive de $\displaystyle{f}$ sur l'intervalle $\displaystyle{I}$.
| $\displaystyle{f(x)}$ | $\displaystyle{F(x)}$ | $\displaystyle{I}$ |
|---|---|---|
| $\displaystyle{k}$ | $\displaystyle{kx}$ | $\displaystyle{\mathbb{R}}$ |
| $\displaystyle{x^{n}}$ | $\displaystyle{\frac{x^{n+1}}{n+1}}$ | si $\displaystyle{n \geqslant 1 : \mathbb{R}}$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{x}}}$ | $\displaystyle{2\sqrt{ x } }$ | $\displaystyle{]0 ; + \infty[}$ |
| $\displaystyle{\frac{1}{x}}$ | $\displaystyle{\ln(x)}$ | $\displaystyle{]0 ; + \infty[}$ |
| $\displaystyle{e^{x}}$ | $\displaystyle{e^{x}}$ | $\displaystyle{\mathbb{R}}$ |
| $\displaystyle{\sin(x)}$ | $\displaystyle{- \cos(x)}$ | $\displaystyle{\mathbb{R}}$ |
| $\displaystyle{\cos(x)}$ | $\displaystyle{\sin(x)}$ | $\displaystyle{\mathbb{R}}$ |
| $\displaystyle{\sin(ax+b)}$ | $\displaystyle{-\frac{1}{a}\cos(ax+b)}$ | $\displaystyle{\mathbb{R}}$, avec $\displaystyle{a \neq 0}$ |
| $\displaystyle{\cos(ax+b)}$ | $\displaystyle{\frac{1}{a}\sin(ax+b)}$ | $\displaystyle{\mathbb{R}}$, avec $\displaystyle{a \neq 0}$ |
IIIOpérations et primitives
Soit un entier $\displaystyle{n}$ différent de $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{- 1}$. On désigne par $\displaystyle{u}$ et $\displaystyle{v}$ deux fonctions dérivables sur l'intervalle $\displaystyle{I}$ ; la fonction $\displaystyle{F}$ est une primitive de $\displaystyle{f}$ sur l’intervalle $\displaystyle{I}$.
| $\displaystyle{f}$ | $\displaystyle{F}$ | Conditions |
|---|---|---|
| $\displaystyle{u'u^{n}}$ | $\displaystyle{\frac{u^{n+1}}{n + 1}}$ |
|
| $\displaystyle{\frac{u’}{u}}$ | $\displaystyle{\ln(u)}$ | $\displaystyle{u \gt 0}$ |
| $\displaystyle{\frac{u’}{\sqrt{u}}}$ | $\displaystyle{2\sqrt{ u }}$ | $\displaystyle{u \gt 0}$ |
| $\displaystyle{u'e^{u}}$ | $\displaystyle{e^{u}}$ | |
| $\displaystyle{u'\sin(u)}$ | $\displaystyle{- \cos(u)}$ | |
| $\displaystyle{u'\cos(u)}$ | $\displaystyle{\sin(u)}$ |
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