Matrices
- I Définition et premières propriétés
- A Les définitions
- B Les propriétés opératoires
- II Le produit matriciel
- A Principe
- B L'expression matricielle d'un système
- III Les matrices carrées
- A Les matrices remarquables
- B Les opérations
- C Les puissances
- D L'inverse d'une matrice
IDéfinition et premières propriétés
ALes définitions
Soient $\displaystyle{m}$ et $\displaystyle{n}$ deux entiers naturels non nuls. Une matrice $\displaystyle{A}$ de taille ou de format ($\displaystyle{m}$, $\displaystyle{n}$) à coefficients réels est un tableau de réels composé de $\displaystyle{m}$ lignes et $\displaystyle{n}$ colonnes.
Le terme situé sur la $\displaystyle{i}$-ème ligne et la $\displaystyle{j}$-ème colonne est appelé terme de position ($\displaystyle{i}$, $\displaystyle{j}$).
- Une matrice de taille ($\displaystyle{1}$, $\displaystyle{n}$), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule ligne, est appelée matrice-ligne.
- Une matrice de taille ($\displaystyle{n}$, $\displaystyle{1}$), c'est-à-dire ne possédant qu'une seule colonne, est appelée matrice-colonne.
- Une matrice de taille ($\displaystyle{n}$, $\displaystyle{n}$), c'est-à-dire possédant $\displaystyle{n}$ lignes et $\displaystyle{n}$ colonnes, est appelée matrice carrée d'ordre $\displaystyle{n}$.
- Les termes de positions ($\displaystyle{i}$, $\displaystyle{i}$) d'une matrice carrée sont appelés coefficients diagonaux.
Soit $\displaystyle{A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \cr -1 & 1 & 5,6 \end{pmatrix}}$
- $\displaystyle{A}$ est une matrice de taille ($\displaystyle{2}$, $\displaystyle{3}$).
- Le terme de position ($\displaystyle{1}$, $\displaystyle{3}$) de $\displaystyle{A}$ est égal à $\displaystyle{4}$.
- Le terme de position ($\displaystyle{2}$, $\displaystyle{3}$) de $\displaystyle{A}$ est égal à $\displaystyle{5,6}$.
Soit $\displaystyle{B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -8 & 0 \end{pmatrix}}$
• $\displaystyle{B}$ est une matrice-ligne de taille ($\displaystyle{1}$, $\displaystyle{4}$).
Soit $\displaystyle{C = \begin{pmatrix} 1 \cr 0 \cr -2 \cr 1 \cr 0 \end{pmatrix}}$
• $\displaystyle{C}$ est une matrice-colonne de taille ($\displaystyle{5}$, $\displaystyle{1}$).
BLes propriétés opératoires
- Somme : pour sommer deux matrices de même format, on additionne à chaque position leurs termes deux à deux.
- Multiplication par un réel : soient $\displaystyle{A}$ une matrice et $\displaystyle{\lambda}$ un réel, on calcule la matrice $\displaystyle{\lambda A}$ est multipliant tous les termes de $\displaystyle{A}$ par $\displaystyle{\lambda}$.
IILe produit matriciel
APrincipe
Le produit $\displaystyle{L \times C}$, noté $\displaystyle{LC}$, est un réel égal à :
$$ LC = a_1 b_1 +... + a_n b_n $$
Le produit $\displaystyle{AB}$ est égal à la matrice $\displaystyle{C}$ de taille ($\displaystyle{m}$, $\displaystyle{p}$) telle que le terme de position ($\displaystyle{i}$, $\displaystyle{j}$) de $\displaystyle{C}$ est égal au produit de la $\displaystyle{i}$-ème ligne de $\displaystyle{A}$ par la $\displaystyle{j}$-ème colonne de $\displaystyle{B}$.
Détail du calcul : $\displaystyle{ \color{Red}{1} = \color{Blue}{-1} \times \color{Green}{2} + \color{Blue}{4} \times \color{Green}{0} + \color{Blue}{3} \times \color{Green}{1} }$
Pour éviter les erreurs, la disposition suivante permet d'identifier aisément la ligne et la colonne à multiplier pour obtenir chaque terme de la matrice produit :
Le produit $\displaystyle{AX}$ est égal à la matrice-colonne de taille ($\displaystyle{n}$, $\displaystyle{1}$) :
$$ AX = x_1 A_1 +... + x_n A_n $$
BL'expression matricielle d'un système
$$ \begin{pmatrix} a & b \cr c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} \text{ ou } x \begin{pmatrix} a \cr c \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} b \cr d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s \cr t \end{pmatrix} $$
IIILes matrices carrées
ALes matrices remarquables
$$ \begin{pmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n \end{pmatrix} $$ On note : $\displaystyle{A = \text{diag}(a_1,..., a_n) }$.
$$ I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & 1 & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
BLes opérations
Soient $\displaystyle{A}$, $\displaystyle{B}$ et $\displaystyle{C}$ trois matrices carrées d'ordre $\displaystyle{n}$, et $\displaystyle{\lambda}$ un réel.
- $\displaystyle{ \lambda (AB) = (\lambda A) B = A (\lambda B)}$
- Associativité : $\displaystyle{A(BC) = (AB) C}$
- Distributivité : $\displaystyle{ A(B+C) = AB + AC }$ et $\displaystyle{ (B+C) A = BA + CA }$
- $\displaystyle{ A I_n = I_n A = A }$
- $\displaystyle{ (0)_n = (0)_n A = (0)_n }$
$$ AB = BA $$
- En général, $\displaystyle{ AB \neq BA }$.
- $\displaystyle{AB}$ peut être nulle sans que ni $\displaystyle{A}$ ni $\displaystyle{B}$ ne soit nulle.
- $\displaystyle{AB = AC}$ n'implique pas nécessairement que $\displaystyle{B=C}$.
$$ AB = BA = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_n b_n \end{pmatrix} $$
CLes puissances
$$ A^k = \underbrace{ A \times... \times A }_{k} $$
$$A^k \times A^r = A^{k+r}$$
$$ A^k = \begin{pmatrix} a_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \cr 0 & \ddots & \ddots & \vdots \cr \vdots & \ddots & \ddots & 0 \cr 0 & \cdots & 0 & a_{n}^{k} \end{pmatrix} $$
DL'inverse d'une matrice
$$ AB = BA = I_n $$ La matrice $\displaystyle{B}$ est alors appelée matrice inverse de $\displaystyle{A}$ et est notée $\displaystyle{A^{-1}}$. Elle est unique.
$\displaystyle{AB = \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -\frac32 \cr 0 & \frac12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix}}$
$\displaystyle{BA = \begin{pmatrix} 1 & -\frac32 \cr 0 & \frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 \cr 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \cr 0 & 1 \end{pmatrix}}$
On en déduit que $\displaystyle{A}$ est inversible et que $\displaystyle{A^{-1} = B}$.
$$ A^{-1} = \text{diag}\left( \frac{1}{a_1},..., \frac{1}{a_n} \right) $$
$\displaystyle{A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac12 & 0 & 0 \cr 0 & -\frac13 & 0 \cr 0 & 0 & \frac43 \end{pmatrix}}$
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