Probabilités discrètes

ILes probabilités conditionnelles

AConditionnement

Soient $\displaystyle{A}$ et $\displaystyle{B}$ deux événements, avec $\displaystyle{A}$ de probabilité non nulle.
On définit la probabilité de $\displaystyle{B}$ sachant $\displaystyle{A}$ par :
$$ P_{A}(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

BIndépendance

Deux événements $\displaystyle{A}$ et $\displaystyle{B}$ sont indépendants si et seulement si :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$$
Soient $\displaystyle{A}$ et $\displaystyle{B}$ deux événements de probabilités non nulles :
$$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \Leftrightarrow P_{A}(B) = P(B) \Leftrightarrow P_{B}(A) = P(A) $$

Soient $\displaystyle{X}$ et $\displaystyle{Y}$ deux variables aléatoires définies sur un univers $\displaystyle{\Omega}$ telles que :

  • $\displaystyle{X(\Omega) = {x_{1}, x_{2},..., x_{n}}}$
  • $\displaystyle{Y(\Omega) = {y_{1}, y_{2},..., y_{p}}}$

Les variables $\displaystyle{X}$ et $\displaystyle{Y}$ sont indépendantes si et seulement si, pour tout $\displaystyle{i}$ compris entre $\displaystyle{1}$ et $\displaystyle{n}$ et tout $\displaystyle{j}$ compris entre $\displaystyle{1}$ et $\displaystyle{p}$ :
$$P(X = x_{i} \cap Y = y_{j}) = P(X = x_{i}) \times P(Y = y_{j})$$

CLa formule des probabilités totales

Soit un ensemble $\displaystyle{E}$.
Les événements de probabilités non nulles $\displaystyle{\{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}\}}$ forment un système complet ou une partition de $\displaystyle{E}$ si et seulement si :

  • $\displaystyle{\forall i \in [\![ 1 ; k ]\!] \text{ , } E_{i} \in E}$ ;
  • les événements $\displaystyle{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}$ sont deux à deux incompatibles ;
  • et leur réunion est égale à l'ensemble $\displaystyle{E}$.
Soit $\displaystyle{{E_{1}, E_{2}, E_{3},..., E_{k}}}$ un système complet d'événements de l'univers $\displaystyle{\Omega}$.
D'après la formule des probabilités totales, pour tout événement $\displaystyle{A}$ de E :
$$ P(A) = P(A \cap E_{1}) + P(A \cap E_{2}) + P(A \cap E_{3}) +... + P(A \cap E_{k}) $$
TS01310-01.PNG

La formule des probabilités totales peut s'illustrer à l'aide d'un arbre pondéré :

TS01310-02.PNG

Dans cet exemple, $\displaystyle{\{B, \overline{B}\}}$ forme une partition de l'univers de l'expérience.

La formule des probabilités totales permet de calculer $\displaystyle{P(A)}$ :

$\displaystyle{P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})}$

Soit : $\displaystyle{P(A) = P(B) \times P_{B}(A) + P(\overline{B}) \times P_{\overline{B}}(A)}$

La formule des probabilités totales revient ainsi à sommer les probabilités de tous les chemins de l'arbre menant à l'événement $\displaystyle{A}$ :

$\displaystyle{P(A) = 0,8 \times 0,05 + 0,2 \times 0,5}$

$\displaystyle{P(A) = 0,14}$

IILes lois de probabilité discrètes

ALes variables aléatoires

Une variable aléatoire réelle est une fonction qui associe un réel à chaque événement de l'univers d'une expérience aléatoire.
Soit $\displaystyle{X}$ une variable aléatoire prenant les valeurs : $\displaystyle{X(\Omega) = {x_{1}, x_{2},..., x_{n}}}$.
La loi de probabilité de $\displaystyle{X}$ associe à chaque réel $\displaystyle{x_{i}}$ la probabilité $\displaystyle{P(X = x_{i})}$.

On présente en général une loi de probabilité à l'aide d'un tableau.

$\displaystyle{x_{i}}$ $\displaystyle{x_{1}}$ $\displaystyle{x_{2}}$ ... $\displaystyle{x_{n}}$
$\displaystyle{P(X = x_{i})}$ $\displaystyle{P(X = x_{1})}$ $\displaystyle{P(X = x_{2})}$ ... $\displaystyle{P(X = x_{n})}$
$\displaystyle{P(X = x_{1}) + P(X = x_{2}) +... + P(X = x_{n}) = 1}$
L'espérance d'une variable aléatoire $\displaystyle{X}$ est le réel :
$$E(X) = \sum_{i=0}^{n} x_{i} P(X = x_{i}) $$ Soit :
$$E(X) = x_{1} P(X = x_{1}) + x_{2} P(X = x_{2}) +... + x_{n} P(X = x_{n})$$
Pour tous réels $\displaystyle{a}$ et $\displaystyle{b}$ : $\displaystyle{E(aX + b) = aE(X) + b}$
La variance d'une variable aléatoire $\displaystyle{X}$ est le réel :
$$V(X) = \sum_{i=0}^{n} [x_{i} - E(X)]^{2} P(X = x_{i}) $$
Pour tous réels $\displaystyle{a}$ et $\displaystyle{b}$ : $\displaystyle{V(aX + b) = a^{2}V(X)}$
L'écart-type d'une variable aléatoire $\displaystyle{X}$ est le réel :
$$σ(X) = \sqrt{ V(X) } $$

BLa loi de Bernoulli

Soit un réel $\displaystyle{p}$ compris entre $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{1}$.
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles :

  • succès, de probabilité $\displaystyle{p}$
  • échec, de probabilité $\displaystyle{1 - p}$.

Soit un réel $\displaystyle{p}$ compris entre $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{1}$.
Une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli de paramètre $\displaystyle{p}$ si :

  • $\displaystyle{X(\Omega) = \{0 ; 1\}}$
  • $\displaystyle{P(X = 1) = p}$ et $\displaystyle{P(X = 0) = 1 - p}$
Si $\displaystyle{X}$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $\displaystyle{p}$, on a :
$$E(X) = p$$ $$V(X) = p(1 - p)$$

CLa loi binomiale

Soit un réel $\displaystyle{p}$ compris entre $\displaystyle{0}$ et $\displaystyle{1}$ et $\displaystyle{n}$ un entier naturel non nul.
Le nombre de succès dans la répétition de $\displaystyle{n}$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes suit la loi binomiale de paramètres $\displaystyle{n}$ et $\displaystyle{p}$.

Une variable aléatoire suit ainsi la loi binomiale de paramètres $\displaystyle{n}$ et $\displaystyle{p}$, notée $\displaystyle{B(n ; p)}$, si :

  • $\displaystyle{X(\Omega) = [\![0 ; n]\!]}$
  • $\displaystyle{\forall k \in [\![0 ; n]\!] \text{ , } P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n-k}}$

Le coefficient $\displaystyle{\binom{n}{k}}$ est égal au nombre de possibilités de placer les $\displaystyle{k}$ succès parmi les $\displaystyle{n}$ répétitions.

Si $\displaystyle{X}$ suit la loi binomiale de paramètres $\displaystyle{n}$ et $\displaystyle{p}$, on a :
$$E(X) = np$$ $$V(X) = np(1 - p)$$
 
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