Limites - Recettes à Bac

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Recettes à Bac

Comment étudier la position relative de deux courbes ?

Soit $C_f$ la courbe d'équation $y=f(x)$ et $C_g'$ la courbe d'équation $y=g(x)$. Pour étudier la position relative de $C_f$ et $C_g$, il faut étudier le signe de $f(x)-g(x)$. En effet, si nous obtenons par exemple $f(x)-g(x)\geq 0$ sur l'intervalle $I$, alors $f(x)\geq g(x)$ sur $I$ et donc $C_f$ est au-dessus de $C_g$ sur $I$.

Comment montrer qu'une courbe admet une asymptote d'équation $y=ax+b$ au voisinage de $\omega$ ?

Il suffit de montrer que $\left[f(x)-(ax+b)\right]$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $\omega$.

 

Asymptote horizontale
Si une fonction $f$ vérifie \[\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\] alors la droite d'équation $y=\ell$ est une asymptote horizontale en $+\infty$ à la courbe représentative de $f$.

\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=2 \,.\] Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{x^{2} - x +1}{x^{3} + 1}\,.\] Montrer que $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = 0$. Interpréter graphiquement ce résultat.

Asymptote verticale

 

Soit $a$ un réel. Si une fonction $f$ vérifie \[\lim_{x\to a}f(x)= + \infty \] alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de~$f$.

\[\lim_{x\to 2 \atop x>2}f(x)= + \infty \text{ et } \lim_{x\to 2 \atop x<2}f(x)= - \infty \,.\] Soit $f$ la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{x^{2} - x +1}{x - 1}\,.\] Étudier les limites de $f$ au voisinage de 1 puis interpréter graphiquement ce résultat.

Asymptote oblique

 

Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=mx+p$. Si une fonction $f$ vérifie \[\lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)= 0 \] alors la droite d'équation $\Delta$ est une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ à la courbe représentative de~$f$.

\[\lim_{x\to -\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)=0 \text{ et } \lim_{x\to +\infty}\left(f(x)-(mx+p)\right)= 0\,.\] Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\sqrt{x+1}}{x^2} + 2x -1\,.\] Prouver que la droite $\Delta$ d'équation $y=2x-1$ est une asymptote oblique à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.

Comment montrer qu'une fonction est paire ?

Il faut vérifier que l'ensemble de définition de $f$ est symétrique par rapport à zéro puis que pour tout réel $x$ de l'ensemble de définition $f(-x)=f(x)$. Nous en déduisons que la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Il suffira donc d'étudier la fonction sur la << moitié >> de l'ensemble de définition, puis de déduire le reste de la courbe par symétrie.

Comment montrer qu'une fonction est impaire ?

cf le paragraphe précédent en remplaçant $f(-x)=f(x)$ par $f(-x)=-f(x)$ et <<~symétrique par rapport à l'axe des ordonnées~>> par << symétrique par rapport à l'origine du repère >>.

Comment montrer qu'une courbe admet le point $A(a,b)$ comme centre de symétrie~?

Faites avant tout un dessin pour visualiser que $A$ est le milieu du segment $[MM']$ avec $M (x,f(x) )$ et $M' (x',f(x') )$. Alors d'une part $\dfrac{x+x'}{2}=a$, donc $x'=2a-x$ et d'autre part $\dfrac{f(x)+f(x')}{2}=b$, $i.e.$ $$f(x)+f(2a-x)=2b$$

Comment montrer qu'une fonction est périodique ?

Il s'agit de trouver un réel $T$ tel que pour tout réel $x$ appartenant à l'ensemble de définition de $f$, alors $$f(x+T)=f(x)$$ Il suffira alors d'étudier la fonction sur un intervalle de longueur $T$, par exemple $[0,T]$, puis de déduire le reste de la courbe par des translations successives de vecteur $k\vec{i}$, avec $k\in \mathbb{Z}$. Vous connaissez bien sûr la fonction sinus qui vérifie $\sin(x+2\pi)=\sin x$ pour tout réel $x$ et qui est donc $2\pi$-périodique.

Comment étudier le signe d'une expression ?

Vaste problème...Retenir malgré tout qu'en règle général, nous savons étudier le signe d'un produit ou d'un quotient de polynômes du 1er  ou du 2nd  degré, d'exponentielles ( qui sont toujours positives ), de cosinus ou de sinus, de logarithmes népériens...

Vous chercherez donc en général à factoriser ou à réduire au même dénominateur votre expression. Si cela s'avère impossible algébriquement, on vous suggérera d'étudier une fonction. Alors soit elle admettra comme extremum zéro, soit vous déterminerez une approximation de la valeur d'annulation de $f$ grâce au théorème de la bijection et vous conclurez à l'aide du tableau de variations.

Qu'est-ce qu'une fonction croissante sur $I$ ?

C'est une fonction qui conserve l'ordre sur $I$.

Comment lever une indétermination ?

Il n'y a pas une méthode mais des méthodes. Il ne s'agit donc pas d'apprendre par c\oe ur des recettes (tiens tiens...), ce qui vous induirait à écrire de grosses sottises. Vous pouvez dans un premier temps repérer des termes <<~négligeables~>> devant d'autres et factoriser par le plus <<~fort~>> (c'est le cas par exemple des fonctions rationnelles au voisinage de $+\infty$ ou $-\infty$). Vous pouvez minorer ou majorer par des valeurs permettant de conclure à l'aide des théorèmes de comparaison (c'est le cas de la fonction cosinus qui vérifie \[-1\leq\cos x\leq 1\] pour tout réel $x$ et donc \[-\dfrac{1}{x}\leq \dfrac{\cos x}{x}\leq \dfrac{1}{x}\] pour $x\geq 0$ et finalement \[\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\cos x}{x}=0\] par application du théorème des gendarmes. Vous pouvez utiliser les propriétés algébriques de certaines fonctions pour retrouver des limites connues ( $x^2+1=\sqrt{x^2+1}\sqrt{x^2+1}$...) Dans le cas de l'étude de limites de fonctions irrationnelles, le recours à la quantité conjuguée peut s'avérer utile. Dans les cas désespérés, vous pouvez essayer de reconnaàître la limite d'un taux de variation et donc utiliser la dérivée associée.

 

 

 

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