Continuité

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2. un Théorème pour les Suites récurrentes du type $u_n=f(u_n)$

Démonstration:

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n=f(u_n)$.

Si $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n=l$ , alors , $f$ étant continue; $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}f(u_n)=f(l)$

Or pour tout entier $n$; on a $v_n=u_{n+1}$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_{n+1}=l$

d'où l'égalité $l=f(l)$

Exemple 1 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{ l l } u_0 =& k\\ u_{n+1}=&u_n^2+1 \end{array}\right.$

Si $(u_n)$ converge vers un réel $l$ , alors il vérifie : $l=l^2+1$;

mais l'équation $l^2-l+1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$; la suite $(u_n)$ ne peut donc pas être convergente.

Exemple2 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{ l l } u_0 =& 0\\ u_{n+1}=& \dfrac{ 5u_n-24 }{u_n-6} \end{array}\right.$

On montre que pour tout $n \in \mathbb{N}$ on a : $0\leq u_n\leq 4$.

On a $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f(x)=\dfrac{5x-24}{x-6}$ ; $f$ est continue sur $\mathbb{R}-{6}$donc sur $[0;4]$.

donc si $(u_n)$ converge alors sa limite $l$ est une solution de l'équation $l=f(l)$

$l=f(l) \Leftrightarrow l=\dfrac{ 5l-24 }{l-6}\Leftrightarrow l^2-11l+24=0 \Leftrightarrow l=3 \text{ ou } l=8$

par passage à la limite, ayant $0\leq u_n\leq 4$ on obtient : $0 \leq l \leq 4$.

Ainsi si on sait prouver par ailleurs que $(u_n)$ est convergente alors sa limite ne peut être que $3$.

Exemple3 : Soit $(u_n)$ la suite définie par $\left\{\begin{array}{ l l } u_0 =& k\\ u_{n+1}=& \sqrt{\dfrac{ 1+u_n }{2}} \end{array}\right.$ avec $k \in ]0;1[$

On montre que $(u_n)$ est croissante et majorée; ainsi $(u_n)$ est convergente . Notons $l$ sa limite.

De plus , on a $u_{n+1} =f(u_n)$ où $f(x)=\sqrt{\dfrac{1+x}{2}}$; $f$ est une fonction continue sur $[-1;+\infty[$.

Donc la limite $l$ est une solution de l'équation $l=f(l)$

$l=f(l)\Leftrightarrow l=\sqrt{\dfrac{1+l}{2} }\Leftrightarrow l^2=\dfrac{1+l}{2} \text {(1) et } l\geq 0$

(1) $\Leftrightarrow 2l^2-l-1=0 \Leftrightarrow l=1 \text { ou } l=-\dfrac{1}{2}$

Ayant $u_{n+1}=\sqrt{\dfrac{1+u_n}{2}}$; on a clairement $u_n \geq 0$ puis par passage à la limite: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}u_n\geq 0$ soit $l\geq 0$

Conclusion : on exclut $l=-\dfrac{1}{2}$ et donc $l=1$ soit $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}(u_n)= 1$.