Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Exercice 2
Exercice 2 5 points
Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo : un jeu de type A et un jeu de type B.
Partie A
Les durées des parties de type A et de type B, exprimées en minutes, peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires notées $X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l’intervalle [9; 25].
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d’écart type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.
- Calculer la durée moyenne d’une partie de type A.
- Préciser à l’aide du graphique la durée moyenne d’une partie de type B.
- On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu. Quelle est la probabilité que la durée d’une partie soit inférieure à 20 minutes ? On donnera le résultat arrondi au centième.
Partie B
On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose une nouvelle partie selon le modèle suivant :
- si le joueur achève une partie de type A, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type A avec une probabilité de 0,8 ;
- si le joueur achève une partie de type B, la plateforme lui propose de jouer à nouveau une partie de type B avec une probabilité de 0,7.
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$ les évènements :
- $A_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $A$. »
- $B_n$ : « la n-ième partie est une partie de type $B$. »
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$ la probabilité de l’évènement $A_n$.
- Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.
- Montrer que pour tout entier naturel $n> 1$, on a : $$a_{n+1}=0,5a_n=0,3.$$
Dans la suite de l’exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].- Recopier et compléter l’arbre pondéré ci-contre.
- La suite $\left(a_n\right)$ est donc définie par : $a_1 = a$, et pour tout entier naturel $n > 1, a_{n+1} = 0,5a_n + 0,3$.
- Étude d’un cas particulier : Dans cette question, on suppose que $a = 0,5$.
- Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n > 1$, on a : $0 < a_n < 0,6$.
- Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est croissante.
- Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est convergente et préciser sa limite.
- Étude du cas général : Dans cette question, le réel $a$ appartient à l’intervalle [0; 1].
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geq 1$ par : $u_n = a_n - 0,6$.- Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.
- En déduire que pour tout entier naturel $n \geq 1$ on a : $a_n = (a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$ .
- Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Cette limite dépend-elle de la valeur de $a$ ?
- La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de type A et une autre publicité insérée en début des parties de type B. Quelle devrait être la publicité la plus vue par un joueur s’adonnant intensivement aux jeux vidéo ?
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