Baccalauréat S Métropole 21 juin 2019 - Correction Exercice 1

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Correction de l'exercice 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

 

Partie A

On considère la fonction $f$ définie sur l’ensemble $\mathbb R$ des nombres réels par : $$f(x)=\dfrac{7}{2} -\dfrac{1}{2} \left (\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right )$$

1. 1. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
   On a $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^x=+\infty$.
   
   
   De plus $\lim\limits_{x\to +\infty} -x=-\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} \text{e}^{X}=0$ donc $\lim\limits_{x\to +\infty} \text{e}^{-x}=0$
   
   
   Par conséquent $\lim\limits_{x\to +\infty} -\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right)=-\infty$.
   
   
   Donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ en tant que somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
   
   
   De plus, pour tout réel $x$ on a : $ f'(x)=-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)$
   
   
   Pour tout réel $x$ positif on a $x>-x$.
   
   
   La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb R$ donc $\text{e}^{x}>\text{e}^ {-x}$.
   
   
   Par conséquent, pour tout réel $x$ appartenant à l’intervalle $[0;+\infty[$ on a $\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}>0$ et $f'(x)<0$.
   
   
   La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   
   
   $\quad$
   
   
   1. Montrer que l’équation $f(x)=0)$ admet, sur l’intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution, qu’on note $\alpha$.
   La fonction $f$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   
   
   $f(0)=2,5$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)=-\infty$.
   
   
   Or $0\in ]-\infty;2,5]$.
   
   
   D’après le théorème de la bijection (ou corollaire du théorème des valeurs intermédiaires) l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution sur l’intervalle $[0;+\infty[$.
   
   
   $\quad$
2. En remarquant que, pour tout réel $x, f(—x) = f(x)$, justifier que l’équation $f(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\mathbb R$ et qu’elles sont opposées.
Pour tout réel $x$ positif on a :

 

$\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\e^x-\e^{-x}\right)\right)^2 \\

 

&=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^x-\e^{-x}\right)^2\\

 

&=1+\dfrac{1}{4}\left(\e^{2x}-2+\e^{-2x}\right) \\

 

&=\dfrac{1}{4}\e^{2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\e^{-2x}\\

 

&=\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2\end{align*}$

 

$\quad$

 

 

La fonction $f$ est donc paire.

 

L’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l’intervalle $[0;+\infty[$. Par conséquent l’équation $f(x)=0$ possède une unique solution $-\alpha$ sur l’intervalle $]-\infty;0]$.

 

$\quad$

 

L’équation $f(x)=0$ possède donc exactement deux solutions sur $\mathbb R$ : $\alpha$ et $-\alpha$.

 

$\quad$

Partie B

Les serres en forme de tunnel sont fréquemment utilisées pour la culture des plantes fragiles ; elles limitent les effets des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1 mètre. La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la partie A. Dans la suite de l’exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l’intervalle $[- \alpha;\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ sur l’intervalle $[- \alpha;\alpha]$.
On admettra que la courbe admet l’axe des ordonnées pour axe de symétrie.

1. Calculer la hauteur d’un arceau.
La fonction $f$ est strictement décroissante sur l’intervalle $[0;+\infty[$.

 

On sait que pour tout réel $x$ positif on a $f(-x)=f(x)$.

 

La fonction $f$ est donc strictement croissante sur l’intervalle $]-\infty;0]$.

 

Par conséquent la fonction $f$ atteint son maximum en $0$.

 

Ainsi la hauteur d’un arceau est $h=f(0)=2,5$ m.

 

$\quad$
1. 1. Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte de la longueur de la courbe $\mathcal{C}$ sur l’intervalle $[0;\alpha]$. On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l’intégrale : $$I=\displaystyle\int_0^{\alpha} \sqrt{1 + \left (f'(x)\right )^2}\text{d} x.$$ Montrer que pour tout réel $x$, on a :$$1 + \left (f'(x)\right )^2=\dfrac{1}{4}\left (\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}\right )^2$$
   Pour tout réel $x$ on a :
   
   
   $\begin{align*} 1+\left(f'(x)\right)^2&=1+\left(-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)\right)^2 \\
   
   
   &=1+\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)^2\\
   
   
   &=1+\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^ {2x}-2+\text{e}^ {-2x}\right) \\
   
   
   &=\dfrac{1}{4}\text{e}^ {2x}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\text{e}^ {-2x}\\
   
   
   &=\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)^2\end{align*}$
   
   
   $\quad$
   
   
   1. En déduire la valeur de l’intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
      Justifier que la longueur d’un arceau, en mètre, est égale à :$\text{e}^{\alpha}+\text{e}^{-\alpha}$.
   La fonction exponentielle est strictement positive sur $\mathbb R$. Pour tout réel $x$ on a donc $\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}>0$.
   
   
   On a donc :
   
   
   $\begin{align*} \displaystyle I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\text{d} x \\
   
   
   &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right)^2}\text{d} x \\
   
   
   &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}+\text{e}^ {-x}\right) \text{d} x \\
   
   
   &=\dfrac{1}{2}\left[\text{e}^{x}-\text{e}^ {x-}\right]_0^{\alpha}\\
   
   
   &=\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}-0\right)\\
   
   
   &=\dfrac{\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}}{2}\end{align*}$
   
   
   La longueur d’un arceau est $L=2I=\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}$.
   
   
   $\quad$ $\begin{align*} \ds I&=\int_0^{\alpha}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\dx \\
   &=\int_0^{\alpha} \sqrt{\dfrac{1}{4}\left(\e^x+\e^{-x}\right)^2}\dx \\
   &=\int_0^{\alpha}\dfrac{1}{2}\left(\e^x+\e^{-x}\right) \dx \\
   &=\dfrac{1}{2}\left[\e^x-\e^{x-}\right]_0^{\alpha}\\
   &=\dfrac{1}{2}\left(\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}-0\right)\\
   &=\dfrac{\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}}{2}\end{align*}$
   La longueur d’un arceau est $L=2I=\e^{\alpha}-\e^{-\alpha}$.
   $\quad$

Partie C

On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite dans la partie précédente, espacés de 1,5 mètre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma par le rectangle $ABCD$ de largeur 1 mètre et de longueur 2 mètres.

On souhaite connaître la quantité, exprimée en $m^2$, de bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre. Cette bâche est constituée de trois parties, l’une recouvrant la façade nord, l’autre la façade sud (sauf l’ouverture), la troisième partie de forme rectangulaire recouvrant le dessus de la serre.

1. Montrer que la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les façades sud et nord est donnée, en $m^2$, par :$$\mathcal{A}=\displaystyle\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x -2.$$
L’aire de la bâche recouvrant la façade nord est l’aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$ et l’axe des abscisses sur l’intervalle $[-\alpha;\alpha]$ soit, puisque la fonction $f$ est continue et positive sur cet intervalle :

 

$J=\displaystyle \int_{-\alpha}^{\alpha} f(x)\text{d} x=2\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x$.

 

L’aire de la porte est $P=2\times 1=2$.

 

Ainsi la quantité de bâche nécessaire pour recouvrir les deux façades est :

 

$\mathscr{A}=2J-2=4\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x-2$.

 

$\quad$
1. On prend 1,92 pour valeur approchée de $\alpha$. Déterminer, au $m^2$ près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire pour réaliser cette serre.
Le rectangle recouvrant la serre a pour dimensions : $4,5$ et $\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}$.

 

Son aire est donc $4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)$.

 

L’aire totale de la bâche est donc :

 

$T=4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x-2$.

 

Or :

 

$\begin{align*}\displaystyle \int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x &=\left[\dfrac{7}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^{x}-\text{e}^ {-x}\right)\right]_0^{\alpha} \\

 

&=\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)\end{align*}$

 

Par conséquent :

 

$\begin{align*} T&=4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+4\int_0^{\alpha} f(x)\text{d} x-2 \\

 

&=4,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+4\left(\dfrac{7\alpha}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)\right)-2\\

 

&=2,5\left(\text{e}^ {\alpha}-\text{e}^ {-\alpha}\right)+14\alpha-2\\

 

&\approx 41,57\end{align*}$

 

Il faut donc prévoir environ $42$ m$^2$ de bâche pour réaliser cette serre.